Задачи по УМФ, страница 2

3. Найти закон колебания стержня длинной π, 0<x<π если начальное отклонение и скорость равны нулю. Концы стержня закреплены, а интенсивность возмущенного воздействие F(x,t)=t^k, k натуральное.

4. Рассчитать температурное поле стержня длиной L, если начальное распределение температуры есть функция U(x,0)=2x, U(0,t)=0. На конце стержня x=L имеет место теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой, имеющей нулевую температуру (однородное третье условие).

5. Найти распределение температуры внутри шара радиуса R, если источник задан с постоянной удельной плотностью q. Начальная температура равна нулю.

6. Найти закон колебания стержня длиной L, если внешнее возмущение g=const, начальная скорость и начальное отклонение равны нулю. Конец стержня х=0 жестко закреплены, U(x)|_x=L=0.

7. Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной ε₁ помещен в безграничное однородное диэлектрическое поле с постоянной ε₂  (ε₂≠ε₁) и находится в однородном параллельном поле с напряженностью Е₀ (Е₀ направлен по оси z в сферических координатах). Найти потенциал и напряженность вне шара в любой момент времени.

8. Найти колебание стержня длиной L, если его конец x=0 закреплен жестко, а конец x=L закреплен упруго, U(x,0)=λ, скорость нулевая.

9. Найти закон свободных колебаний струны длиной L, если в начальный момент времени  она имеет форму кривой: u(x,0)=L*sin((π*x)/(2*k)), затем струна отпускается без начальных скоростей.

10. Найти температуру в шаре радиуса a , поверхность которого имеет температуру равную нулю, а начальное распределение u|_t=0=f(r).

11. Найти распределение температуры внутри бесконечного круглого цилиндра радиуса a, при условии, что U|_t=0=U₀(1-r²/a²), на боковой поверхности температура равна нулю.

12. Стержень длиной L, конец которого при x≠0 жестко закреплен, находится  в состоянии покоя. В момент времени t=0 к концу x=L прикладывается сила F, направленной вдоль стержня. Найти смещение стержня.

13. Найти закон распределения температуры в стержне, если он имеет вид ¶u/¶t+σ*u-3¶²u/¶x². Граничные условия имеют вид однородных условий Дирихле. Начальное распределение температуры: φ=x²-(3/2)*х+1, x>0.

14. Найти закон распределения температуры в стержне длиной L, если начальная температура и температура концов стержня равна нулю, f(x,t)=-H₀*w*((L-x)/L)*π.

15. На струну с жестко закрепленными концами с начального момента времени начинает действовать сила с линейной плотностью α*sin(ω*t). Найти вынужденные колебания струны, если отклонение и скорость равны нулю.

16. Рассчитать тепловое поле тонкого стержня, если конец x=0 теплоизолирован, а на конце x=L температура равна нулю. u(x,0)=x при 0<x<L/2, Lx, при L/2<x<L.

17. Дана задача Дирихле. Написать уравнение в круге a, решить при помощи функции Грина

U|_r=a=a*cosφ.

18. Найти гармоническую функцию внутри шара R=1, принимающую на его поверхности значение U|_r=1=φ(θ)*cos(θ).

19. Найти закон колебания стержня длинной L, концы которого жестко закреплены, начальное отклонение равно нулю, V|_t=0=0.

20. Прямоугольная пластина: [0,а]х[0,b], U|_t=0=U₀. На краях пластины происходит теплообмен по закону Неймана. Найти  U.

21. Построить функцию Грина, и решить задачу Дирихле. u(x=0)=f1(y), u(y=0)=f1(x).

22. Найти стационарную температуру в круге R=a, если на границе круга задан поток

¶u/¶n (r=a) =f(fi). Какие условия накладываются на краевые условия.  Найти условие разрешимости задачи.

23. Найти электростатическое поле внутри области, ограниченной проводящими пластинами: у=0, у=b, x=0. Х=0 пластина заряжена до потенциального поля, y=b и y=0 заземлены. Заряды внутри области отсутствуют.

23. Найти решение уравнения теплопроводности в стержне длинной. На конце х=L температура нулевая. В нуле теплоизоляция начальной температуры L*cos(x).

24. Найти  стационарное распределение температуры в кольце. U(r=1)=0, u(r=2)=2*sin(θ).

Найти нестационарное распределение температуры в стержне длиной L, 0<х<L. Левый конец - x=0 теплоизолирован, x=L, на конце x=L поддерживается температура равная нулю, f(x,t)=Q=const.