Задачи по УМФ

Задачи по УМФ.

Примеры билетов.

1.  Найти колебания стержня длинной L, если его один конец закреплен жестко при (x=0), а другой конец закреплен упруго (x=L). Начальная скорость равно 0, начальное отклонение u(x,0)=AX.

___________________________________________________________________________________

Б. 25. Формула Грина (единица в степени вэ, 2 в степени вэ). Гармонические функции и их свойства, основные ?. Фундаментальное решение уравнения Лапласса в пространстве и на плоскости…

2.  Найти колебания струны длиной L. Внешняя возмущающая сила равна x/2L, конца струны закреплены, начальное отклонение =x*(L-x)/L, начальная скорость=0.

3.  Найти распределение температуры на толщине пластины (толщина = 2A), если начальное распределение температуры =0, затем пластина нагревается с обеих сторон постоянным тепловым потоком g.

___________________________________________________________________________________

Б. 6. 1. Вывод уравнения теплопроводности.

2. Проводящий шар находится во внешнем электрическом поле, напряженность которого E_0. 

Определить величину искажения внешнего поля.  

3.  Найти закон колебания стержня под воздействием внешней силы F(x,t)=2x^L/L. Длина стержня L. Правый и левый конец гибко закреплены. Начальное отклонение и скорость=0.

___________________________________________________________________________________

1. Функция Грина оператора Лапласа, основные свойства функции Грина. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью функции Грина.
2. Найти закон колебания стержня длиной n, 0<x<n, если начальное отклонение и начальная скорость равны нулю. Концы стержня закреплены, а интенсивность возмущающего воздействия f(x,t)=t^k (k-целое положительное число).
3. Рассчитать температурное поле стержня, если начальное распределение температуры есть функция u(x,0)=2*x. Температура на конце стержня x=0 равна нулю, а на конце x=L имеет ? теплообмен по закону Ньютона.

___________________________________________________________________________________

1. Метод разделения переменных для неоднородного параболического уравнения. Начальные и краевые условия однородные.   Сформулировать и доказать теорему о существовании и единственности  решения этой задачи.

2. Найти закон колебания упругого стержня, если его концы закреплены, а начальная скорость и отклонение = Y₁(x) и Y₂(x) соответственно.

3.Построить функцию Грина для четверти круга 0<φ<π/2.

Как решить для этой области задачу Дирихле для уравнения Лапласса, если краевые условия имеют вид U|_r=ψ(Y).

___________________________________________________________________________________

1.  Диэлектрический цилиндр помещен во внешнее однородное электрическое поле, направленное перпендикулярно оси Z и имеющее напряженность Е₀. Найти поле внутри и вне цилиндра (диэлектрическая проницаемость цилиндра ε₁, внешней среды –ε₂, ε₁≠ ε₂).

2.  Найти колебания стержня длиной L при однородных начальных и краевых условиях и  возмущающего воздействия F(x,t) =b*(x-L), где b>0.

___________________________________________________________________________________

1.  Параболическое уравнение. Теорема о максимумах (задача Коши).

2.  Найти закон колебания стержня длинной L, если внешнее возмущение есть константа g. Начальная скорость и отклонение равны нулю. Конец стержня x=0 жестко закреплен, а конец x=L закреплен  так, что касательная отклонения равна нулю.

3.  Диэлектрический шар с диэлектрической проницаемостью ε₁ помещен безграничный однородный диэлектрик с постоянной ε₂ (ε₁≠ ε₂), находящийся в однородном параллельном поле с напряженностью Е₀ (Е₀ направлен по оси z в сферических координатах). Найти потенциал и напряженность внутри и вне шара.

___________________________________________________________________________________

Примеры задач.

1. Найти колебания стержня длинной L при однородных начальных и краевых условиях и возмущающим воздействием F(x,L)=b*(x-L), b положительная постоянная.

2. Диэлектрический цилиндр с ε₁ помещен во внешнее однородное электрическое поле, направленное по оси z (перпендикулярно оси z ) и имеющим напряженность Е₀. Найти поле внутри и вне цилиндра (во внешней среде диэлектрическая проницаемость равна ε₂≠ε₁)