Понятие функции. Область определения функции. Область значений функции. Способы задания функции. График функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Чётность и нечётность функции. Периодичность функции. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум функции

этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.                       

Определение. Окружностьюназывается фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности.Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Выведем уравнение окружности с центром в точке и радиусом  (рис. 12).

Возьмём произвольную точку  на окружности. Расстояние от неё до центра  равно . Квадрат расстояния от точки  до  равен

.

Таким образом, координаты  и каждой точки   окружности удовлетворяют уравнению

.                    (2)  

Обратно: любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (2), принадлежит окружности, так как расстояние от неё до точки  равно . Отсюда следует, что уравнение (2) действительно является уравнением окружности с центром  и радиусом . Заметим, что если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ФУНКЦИИ  И ЕЁ ГРАФИК.

Определение. Функция вида , где и  - действительные числа, называется линейной функцией. Функция вида , где  - действительное число, называется постоянной функцией. Функция вида , где , называется прямой пропорциональностью. Число называется в этом случае коэффициентом пропорциональности.

Постоянная функция и прямая пропорциональность - частные случаи линейной функции.

1. Область определения функции - множество всех действительных чисел .

2. Область значений функции при  - множество и - {}, если = 0.

Действительно, уравнение , если ¹ 0, имеет решение при любом , следовательно, выражение принимает в этом случае любое значение.

Если же, то  для любого значения .

3. Корни функции : .

4. Промежутки постоянного знака:

а) если , то функция положительна  при  и отрицательна  при  ;

б) если , то функция положительна , при  и отрицательна при .

5. Промежутки монотонности:

а) если , то функция возрастает, т. к. из  следует  и , т.е. ;

б) если , то функция убывает, т.к. из  следует  и , т.е. .

6. При  и  функция  ни чётная ни нечётная, так как     и .

При  функция  принимает вид  и является нечётной, так как .

При функция  принимает вид  и является чётной, так как .

7.  При функция  непериодична, так как для любого  .  

Теорема. Графиком линейной функции  является прямая.

Доказательство. Будем рассматривать случаи  и  одновременно (рис. 13). Проведём прямую  через точки с координатами  и , причём . Покажем, что эта прямая является графиком функции . Для этого возьмём произвольную точку , лежащую на прямой . Из подобия треугольников  и  заключаем, что. Учитывая, что , , , , имеем

.

Это равносильно тому, что

или                           

.

Сократив это равенство на , получим

, или . Итак, все точки прямой с координатами  удовлетворяют уравнению .

С другой стороны, если точка  не лежит на прямой  , то справедливо либо неравенство  > (точка лежит выше прямой), либо  <  (точка лежит ниже прямой).

Этим мы показали, что координаты точек прямой и только они удовлетворяют уравнению. Теорема доказана.

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ФУНКЦИИ   (ГДЕ ) И ЕЁ ГРАФИК.

     Определение. Функция, которая задаётся формулой , где , называется обратной пропорциональностью.

                                 Свойства функции , где .

1.  Область определения: .

2.  Область значений: .

Действительно, для любого , найдётся такое значение, что . Это значение . Если же , то , откуда , что противоречит условию .

3.  Чётность, нечётность. Функция нечётна при любом , так как для любого , .

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

4. Периодичность. Функция непериодическая. Действительно, если бы существовало  такое, что для всех , то, взяв , имели бы , что невозможно, так как .

4.  Точек пересечения с осями нет, так как .

5.  Промежутки знакопостоянства. Если , то  при  и при . Таким образом, график лежит в первой и третьей координатных четвертях.    

Если , то  > 0 при  и  при , т. е. график расположен во второй и четвёртой координатных четвертях.

6.  Промежутки монотонности и экстремумы. Функция при  убывает в каждом из промежутков  и . Действительно, пусть, например, . Тогда

, а, следовательно, , т. е. в промежутке  функция   при  убывает. Аналогично можно показать убывание функции и для промежутка .

Нетрудно убедиться, что функция  при  возрастает в каждом из промежутков  и . Заметим, что в этих случаях функция  не является убывающей (или возрастающей) на всей области определения.

     7. Графиком функции является гипербола. Она состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат.

При значениях , стремящихся к нулю, значения функции неограниченно возрастают (по модулю). Поэтому прямая  (ось координат) является вертикальной асимптотой графика функции .

При  значения функции становятся сколь угодно малыми по модулю, т. е. график приближается к оси абсцисс, но не пересекает и не касается её. Поэтому прямая  (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика (рис.14).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ФУНКЦИИ  (ГДЕ ) И ЕЁ ГРАФИК.

     Определение. Функция вида   называется квадратичной.

              Свойства квадратичной функции.

1.  Область определения: .

2.  Область значений: Выполним преобразования

 , где  - дискриминант.

Так как , то при  , а при  .

3.  Чётность и нечётность. При  функция чётная, так как     и  . При   функция не является чётной. Если предположим, что функция чётная, то , т. е. , или , что равносильно при всех , откуда , противоречие.

Функция не является нечётной, так как из равенства

 , т. е. , при  имеем , т. е. ; при   , т. е. , откуда , что невозможно.

4.  Функция непериодическая. Предположим, что существует  такое, что

, где , ,  принадлежат .

Возьмём . Тогда из условия периодичности следует

, откуда .

Так как , то . Противоречие.

5.  Точки пересечения с осями координат. С осью  (нули функции), по формулам корней квадратного уравнения: если , то две точки пересечения        ;

если , то одна точка пересечения ;

если , то точек пересечения нет.

С осью : при , , т. е. .

6.  Промежутки знакопостоянства. Для определения знаков функции достаточно решить квадратные неравенства  или  .

6.1  Если , , то на функция положительна, а на - отрицательна (рис.15.а).

6.2.Если , , то на  функция положительна  (рис.15.б).

6.3. Если , , то функция положительна на всей числовой оси (рис. 15.в).

6.4. Если , , то на функция положительна, а на  отрицательна (рис.16.а).

6.5. Если , , то на   функция отрицательна (рис.16.б).

6.6.Если , , то функция отрицательна на  (рис.16.в).

7.  Промежутки монотонности. Если  то функция  убывает при  и возрастает при . Покажем, например, возрастание функции на втором промежутке. Действительно, пусть . Тогда

Так как при  выражение  положительно.

Если  то функция  возрастает при  и убывает при . Доказательство аналогично.

8.  Графиком функции является парабола с вершиной в точке . Парабола получается из графика функции путём сдвига вдоль оси на  единиц (вправо, если   > 0 , и влево, если    < 0) и последующего сдвига вдоль оси  на    единиц (вверх, если    > 0, и вниз, если    < 0). Осью симметрии является прямая .

Варианты графиков представлены на рисунках  15 - 16.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЁ ГРАФИК.    

На множестве  функции и являются взаимно обратными. Рассмотрим более подробно свойства функции.

1.   Область определения: .

2.   Область значений: .

3.   Функция не является чётной и не является нечётной, так как область её определения не является симметричным множеством.

4.   Функция непериодическая, так как область определения - непериодическое множество.

5.   Функция возрастает на всей области своего определения.

Действительно, функция  является обратной на этом промежутке