Оптика. Временная когерентность. Пространственная когерентность. Дифракция Фраунгофера

Оптика

Все действия света характеризуются вектором напряжённости.

Уравнение электромагнитной волны: . В прозрачных средах . Показатель преломления среды . Т.к. e зависит от частоты колебаний, то .

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Длина волны в среде , где  – длина волны в вакууме.

Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой волной, называется интенсивностью волны: . Т.к. , то . Пусть . Тогда .

Свет излучается цугами. Каждый цуг длится порядка  с.

В однородной среде свет распространяется прямолинейно (при отсутствии маленьких отверстий). При пересечении световых лучей они не возмущают друг друга (при не слишком больших интенсивностях).

Отражённый луч лежит в одной плоскости с падающим и с перпендикуляром, восстановленным в точке падения, причём угол падения равен углу отражения.

Закон преломления: , где  – угол преломления,  – скорость в i-й среде,  – преломление i-й среды.

.

Оптическая длина пути .

Принцип Ферма: Свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

.

Интерференция световых волн

Пусть в какую-то точку приходят две волны: , . Тогда амплитуда результирующего колебания . Усреднив по времени, получим:  (где ), следовательно, .

Если разность фаз d остаётся постоянной по времени, то такие лучи называются когерентными. Тогда .

Явление перераспределения интенсивности называется интерференцией.

Пусть один луч расщепили на два и пустили их по путям  и . Тогда у начального луча фаза , у расщеплённых –  . Когда оптическая     разность хода , будет максимум распределения интенсивности, а когда , будет минимум распределения интенсивности.

Интерференция от двух источников

 – разность хода. При этом . Оптическая разность хода , где m – любое целое число. Отсюда видно, что ширина интерференционной полосы .

Пусть распространяются две волны: , . Суммарная волна  . Отсюда видно, что амплитуда суммарного колебания  зависит от точки экрана, в которую она попадает. Если , то наблюдается максимум, следовательно, , где y – угол между волнами.

Интерференция на тонких пластинах

Оптический путь левого луча внутри пластинки: . Оптический путь правого луча, проходимый им в то время, пока второй луч идёт внутри пластинки: . Оптическая разность хода: , следовательно, .

При отражении от границы раздела двух сред, если вторая среда более оптически плотная, то происходит скачок фазы на p.

Следовательно, .

Найдём , следовательно, оптическая разность хода . Если , то кольцо светлое. Если , то кольцо тёмное.

Радиус m-го кольца: .

Временная когерентность

Пусть есть цуг, растянутый во временном промежутке  с амплитудой  при . Разложим его в интеграл Фурье: , где . При этом , т.к.  – нечётная функция, а , т.к.  при   , т.к. w и  – большие частоты.

Интенсивность света .

.

Время когерентности – это то время, за которое случайное изменение фазы колебания достигнет значения порядка p.

 – длина когерентности – то расстояние, которое волна проходит за время когерентности.

Если оптическая разность хода порядка , то эти два луча становятся некогерентными.

Вернёмся к пластинке: , т.к. .

Таким образом, толщина b должна быть порядка  м.

Пространственная когерентность

Пусть в пространстве распространяется сферическая волна. Выясним, какое максимальное расстояние d между двумя точками на её фронте можно взять, при котором волна всё ещё будет когерентна сама себе. Для этого можно обернуть картину и представить, что свет, излученный двумя точечными источниками, находящимися на расстоянии d попадает в точку с координатой u. Тогда оптическая разность хода  и если , то волны будут когерентны.  – ширина когерентности – предельное расстояние на фронте волны, в двух точках которого волны ещё когерентны. Угол когерентности .

Дифракция

Принцип Гюйгенса: Каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, а огибающая этих вторичных волн есть новое положение фронта волны.

Принцип Гюйгенса-Френеля: Амплитуда вторичной волны пропорциональна площади элемента, который её испускает.

Уравнение волны, испущенной площадкой , где j – угол между нормалью к площадке и направлением, в котором рассматривается излучение,  – коэффициент, введённый Френелем, ,  – фаза колебания в точке на поверхности фронта. Уравнение всего волнового фронта: , где S – его площадь (например, на рисунке это площадь щели).

Зоны Френеля

Зоны, ограниченные точками с расстоянием от волнового фронта до точки P, равном , называются зонами Френеля.

Разность фаз у соответствующих волн из разных зон Френеля равна p.

.

Площадь сегмента . Площадь зоны .

Если углы очень малы, то . Тогда амплитуда колебаний в точке P , где  – амплитуда колебания, приходящего из i-й зоны Френеля; , т.к. .

Радиус m-й зоны .

Количество зон, открываемых отверстием радиуса .

Дифракция Фраунгофера

Так как, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, амплитуда пропорциональна площади излучающей поверхности, а она в случае, изображённом на рисунке, пропорциональна ширине отрезка, лежащего в щели, то . Амплитуда приходящей волны .

Разность хода ; сдвиг фазы .

  . Интенсивность . Количество минимумов  (т.к. ). Угловая ширина центрального максимума .

Количественный критерий дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера

. Если лучи параллельны, то . . Если , то наблюдается дифракция Фраунгофера (т.к. порядок l примерно такой же, как и у r), если , то наблюдается дифракция Френеля, а если , то дифракции