Определение переходного тока на входе цепи второго порядка и построение графика его изменения в функции времени

Министерство образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра общей электротехники

Расчетно-графическое задание №3

Переходный процесс в цепи с сосредоточенными параметрами

Факультет: РЭФ

Группа: РТВ14-91

Студент: Атабекян А.А.

Преподаватель: Давыденко О.Б.  

Новосибирск 2010

Задание

Найти переходный ток на входе  цепи второго порядка, изображенной на схеме, и построить график его изменения в функции времени. ЭДС источника задана в виде:

e(t)=E_mcos(10⁶t+Y_e)

Примечания:

1)  Принужденную составляющую тока рекомендуется найти методом комплексных амплитуд (т.е. символическим методом), а свободную - операторным.

2)  Если наибольшее значение свободной составляющей окажется несоизмеримо малым по сравнению  с амплитудой принужденной составляющей, то допускается раздельное построение этих составляющей на чертежах в разных масштабах (без суммирования).

Исходные данные

e = 10cos(10⁶t + 20°), В

R₃ = 5 кОм

R₄ = 2.5 кОм

R₅ = 1.5 кОм

L₂ = 3 мГн

С₂ = 1.5 нФ

Вначале вычислим реактивные сопротивления нашей схемы:

реактивное сопротивление конденсатора

реактивное сопротивление катушки

Расчет принужденного режима

Рассчитаем значение токов и напряжений методом комплексных амплитуд.

Переведем значение тока в тригонометрическую форму

Рассчитаем значение тока через катушку в начальный момент времени

Рассчитываем значение тока через конденсатор, то есть тока I_3пр

Переведем значение тока в тригонометрическую форму

Расчет значение напряжения на конденсаторе в принужденном режиме

Запишем значение напряжения в тригонометрической форме:

Рассчитаем значение напряжения в начальный момент времени

Расчет режима до коммутации:

Методом комплексных амплитуд

Переведем значение тока в тригонометрическую форму

Рассчитаем значение тока через катушку в начальный момент времени

Рассчитываем значение тока через конденсатор, то есть тока I_3-

Расчет значение напряжения на конденсаторе:

Определение независимых начальных условий:

Законы коммутации

u_C(0+) = u_C(0-)

i_L(0+) = i_L(0-)

В нашей схеме законы коммутации выполняются  и, поэтому запишем значение тока катушки и напряжения конденсатора в момент коммутации.

Определим значение тока через катушку и напряжение на конденсаторе в свободном режиме.

Определение свободной составляющей  операторным методом:

В операторной схеме замещения катушка индуктивности заменяется источником ЭДС величины  и резистором с сопротивлением , конденсатор заменяется источником ЭДС величины  и резистором с сопротивлением . Активные источники ЭДС закорачиваем, на месте источников тока делаем разрыв. Такая схема имеет вид:

Рассчитаем токи в ветвях методом контурных токов. Уравнения, составленные на основе II закона Кирхгофа для каждого из контуров, выглядят следующим образом:

Решим полученную систему методом Крамера:

По формуле Крамера найдем контурные токи:

Исходя из этого, свободные составляющие токов равны:

Чтобы найти оригиналы свободных составляющих входного тока, тока через индуктивность воспользуемся теоремой разложения (вычетов):

Если операторную функцию  можно представить как отношение многочленов , то изображение данной функции можно определить как где р_к – корни уравнения .

Найдем корни уравнения знаменателя:

Получаем

Найдем производную знаменателя:

Вычислим отношение  в найденных значениях  р_к:

Отсюда, свободная составляющая тока имеет оригинал:

Временная зависимость входного тока

Рассмотрим зависимость входного тока, а также его составляющих от времени:

Определяющей величиной в данном случае является принужденная составляющая, которая на порядок больше свободной.

Свободная составляющая представляется суммой затухающих экспонент.