Динамический рынок. Схема моделирования динамического рынка с двумя ценами

Санкт-Петербургский Государственный Университет Информационных Технологий, Механики и Оптики

Кафедра Систем Управления и Информатики

Задача №4 по курсу

«Введение в экономическую кибернетику»

по теме «Динамический рынок».

Студент:                Нестеренко Ю.А.

Группа:                                       5146  

       Преподаватель:             Бушуев А.Б.

Санкт-Петербург

2008 г

Дан рынок с двумя ценами.

Рассмотрим рынок с двумя видами товаров .

На рынке действуют два участника .

- вектор потребления (спроса) 1-го участника;

- вектор предложения 1-го участника;

- вектор потребления (спроса) 2-го участника;

- вектор предложения 2-го участника;

- вектор начальных цен;

- функция полезности 1-го потребителя;

- функция полезности 2-го потребителя;

Найти равновесие цен, замоделировать рынок и получить графики изменения цен.

Введем вектора избыточного спроса (предложения)

Скорость изменения цен определяется вектором избыточного спроса (предложения):

Получим переменные ограничения:

Задача анализа такой системы довольно сложна (из-за присутствия в структурной схеме экстрематоров). Можно использовать следующее свойство вектора z: .

Введем новую переменную . Примем .

Подставляя z2 в закон Вальраса , получаем .

Учтем ограничения движения по поверхности сферы:

Найдем константу, подставляя в уравнение значения начальных условий:

Получим дифференциальное уравнение для r:

.

                                                                                                        (1)

В уравнения бюджетных ограничений подставим . Получим:

                                                                                                           (2)

                                                                                                          (3)

- функция полезности 1-го потребителя.

Максимизируем данную функцию:

- функция полезности 2-го потребителя;

Максимизируем данную функцию:

Одно решение дает точку максимума, другое - точку минимума.

Подставим оба решения в целевую функцию и найдем максимальное:

Второе решение оказалось больше первого.

Подставляем полученное выражение в дифференциальное уравнение (1):

Найдем точки равновесия рынка, приравняв .

.

Цены в равновесном состоянии равны:

Найдем вектора спроса в точке равновесия:

Проверим баланс спроса и предложения в точке равновесия:

Вектора z в точке равновесия равны нулю.

Проверим балансы стоимости товаров в точке равновесия:

1 участник:

2 участник:

Схема моделирования рынка представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Схема моделирования динамического рынка с двумя ценами

Графики изменения цен представлены на рисунке 2.