Интегрирующие цепи. Интегрирование одиночного импульса. Интегрирование импульсной последовательности

Тема №2 Урок 4

§ 4.3. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЦЕПИ

Принцип действия. Напряжение на конденсаторе связано с током через него интегральной зависимостью:

,                                          (4,2)                             

где С – емкость конденсатора; t – время интегрирования.

Будем считать, что начальный заряд конденсатора равен нулю. Тогда выражение 4.2) определяет полное напряжение на конденсаторе.

Чтобы интегрировать заданное напряжение u_вх, ток i_c должен изменяться по тому же закону, что и u_вх. До некоторой степени это обеспечивает RС-цепь (рис. 4.9, а), постоянная времени τ которой много больше времени интегрирования t  (τ = RC >> t). Такую цепь называют интегрирующей.

Если t << τ, то за время t напряжение и_с не успеет существенно измениться. В этом случае ток в цепи      i = (u_вх – u_c)/R ≈ u_вх /R,т.е. приблизительно пропорционален u_вх , а

.

По мере заряда конденсатора ток в цепи изменяется, даже если u_вх = const. Это является причиной погрешности интегрирования.

Величину ее легко определить для случая, когда на входе действует постоянное напряжение u_вх = U. Тогда напряжение на выходе нарастает по экспоненциальному закону: u_вых = U(1-е^-t/τ).

Раскладывая е^-t/τ  в ряд по степеням t/τ, получаем

Если время интегрирования t << τ, то можно ограничиться первыми двумя членами разложения, т. е. считать

.

Первый член пропорционален интегралу входного напряжения u_вх = U; действительно,

.

Второй член составляет ошибку. Она тем меньше, чем сильнее неравенство τ >> t. Однако с уменьшением ошибки пропорционально уменьшается результат интегрирования Ut/τ. Относительная погрешность, выраженная в процентах, .

Отсюда можно определить предельное время t интегрирования прямоугольного импульса, при котором ошибка не превосходит допустимого значения δ: t ≤ τδ/50.                      

-1Пример 4.3. Определить параметры элементов интегрирующей цепи, на выходе которой в течение времени t = 10 мкс должно формироваться линейно нарастающее напряжение с относительной погрешностью δ ≤ 1 %. Постоянное напряжение источника на входе цепи U_вх = 5 В, допустимый ток источника I_доп. = 5 мА.

Время интегрирования t, относительная погрешность δ и постоянная времени цепи τ связаны соотношением: t ≤ τδ /50.

Отсюда с учетом условий задачи: τ ≥ 50 τ/ δ = (50 * 10 * 10^-6)/1 = 500 мкс.

Начальный (максимальный) ток заряда конденсатора С(u_Снач = 0): i = Iс_нач = u_вх/r  не должен превышать допустимого тока 1_доп источника. Отсюда сопротивление резистора цепи

Выбираем по ГОСТу R = 1,2 кОм.

Емкость конденсатора цепи

.

Выбираем по ГОСТу С = 0,5 мкФ.

Оценим напряжение на выходе цепи к моменту t = t_и считая скорость υ его нарастания постоянной и равной начальной скорости заряда конденсатора: υ = υ _нач – U_вх/τ.

При этом

, т. е. максимальное напряжение на выходе цепи составляет 0,02 U_вх.

Интегрирование одиночного импульса. Рассмотрим реакцию интегрирующей цепи на воздействие прямоугольного импульса (рис. 4.9, б). Конденсатор С не может мгновенно зарядиться, поэтому в момент поступления на вход Цепи прямоугольного импульса все входное напряжение выделяется на резисторе R, а u_вых = u_с = 0. За время действия импульса конденсатор медленно заряжается по экспоненциальному закону:

.

К моменту окончания входного импульса (t= t_и) напряжение на выходе достигает значения:

,

после чего конденсатор медленно разряжается через резистор, u_вых постепенно уменьшается.

Можно считать, что через время t = Зτ после окончания одного импульса конденсатор С практически разрядится, т. е. длительность импульса на выходе рассматриваемой цепи: t_{и  вых} = t_и + Зτ. Так как по условию τ >> t_и  , t_{и  вых} ≈ Зτ.

Таким образом, при τ >> t_и  на выходе цепи выделяются растянутые пилообразные импульсы с амплитудой  U_mвых < U_mвх .Поэтому такую цепь называют удлиняющей или сглаживающей.  Интегрирующие цепи применяют в вычислительных устройствах, селекторах, телевизионной технике и т. д.

Существенное изменение формы входного импульса при интегрировании легко объяснить,   рассматривая импульс как совокупность ряда гармоник. Действительно, при τ = RC >> t_и   сопротивление конденсатора х_с = 1/ωС оказывается много