Моделирование движения каучукового шарика в воздухе с учётом силы сопротивления

Цель работы: Промоделировать движение тела в среде с учётом силы сопротивления.

1.  Постановка задачи:

Каучуковый  шарик радиусом R = 3 см подбрасывают вверх с начальной скоростью V₀ = 20 м/с. Промоделировать его движение, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости (использовать формулу для гидравлического сопротивления).).

Задание:

  1.Определить максимальную высоту, на которую поднимется шарик.

  2. Рассчитать высоту подъема по аналитической формуле, не учитывающей сопротивление воздуха, и сравнить результаты.

2.  Математическая модель

 В общем случае  

      

где

       - площадь

       - плотность тела  

     

3.  Алгоритм численного решения:

 

Используя разностный шаговый метод Эйлера, получим:                          

     

4.  Программа:

p r o g r a m   r g r ;

 u s e s   g r a p h ;

  v a r   a l , g , v 0 , x x , v , A , y , x , v y , v x , d t , c , s , r , m , p , p v : r e a l ;

         g d , g m , i: i n t e g e r ;

        otchet:text;

 begin

      gd:=detect;

        assign(otchet,'zadacha3.txt');

  rewrite(otchet);

       i n i t g r a p h ( g d , g m , ' b g i ' ) ;

        x x : = 2 0 ;

        g : = 9 . 8 ;

       a l : = 3 0 * p i / 1 8 0 ;

        v 0 : = 2 0 ;

        p : = 1200;

        p v : = 1 . 2 9 ;

        c : = 0 . 2 ;

        r : = 0 . 0 2 ;

        s : = p i * r * r ;

        m : = p * p i * r * r * r * 4 / 3 ;

        A : = c * s * p v / m / 2 ;

        d t : = 0 . 0 1 ;

       v y : = v 0 ;

        y : = 0 ;

        x : = 0 ;

        M o v e T o ( 0 , 4 5 0 ) ;

       i:=0;

      r e p e a t

            v y : = v y - ( g * ( 1 - p v / p ) + A* v * v y ) * d t ;

             y : = y + v y * d t ;

              v : =vy;

             i:=i+1;

             L i n e T o ( 200 , 4 5 0 - r o u n d ( y * x x ) ) ;

             writeln(otchet,i,';',y,';',v);

     u n t i l   y < 0 ;

      readln;

      closegraph;

 end.

5.  Анализ результатов:

В первом случае, высота подъема шарика .

Во втором случае когда не учитывалось сопротивление воздуха:

6.  Вывод:

При моделировании падения шарика следует учитывать сопротивление воздуха хотя оно не значительно.