Моделирование движения аэрозольной частицы в воздухе при наличии сопротивления

Страницы работы

4 страницы (Word-файл)

Содержание работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Индивидуальное задание по дисциплине

«Математическое моделирование физических процессов»
Моделирование движения тела в среде при наличии сопротивления

Факультет: ЛА

Группа: МБ-81

Студент: Бобыкина А.А.

Преподаватель: Ивания С.П.

НОВОСИБИРСК

2010 г.

Постановка задачи:

Промоделировать падение аэрозольной частицы в воздухе с высоты  H= 150 м, если сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости (использовать формулу Стокса), радиус частицы R = 100 мкм, плотность материала частицы r = 2,5 103 кг/м3.

1.Определить время падения частицы с высоты Н.

2.Построить зависимость скорости от времени V(t).

Описать математическую модель, алгоритм численного решения, программу. Провести анализ результатов.

Математическая модель

При падении на аэрозольную частицу будут действовать две силы: сила тяжести и сила сопротивления:

ma=Fтяж-Fсопр

Т.к. сила тяжести равна mg, а сила сопротивления, по формуле Стокса: 6πμrv, для ламинарного потока и 6πμrv2 для турбулентного.

Поделим обе части уравнения на массу.

Тогда уравнение примет вид:

a=g-(6πμrv)/m (для ламинарного потока)

a=(g-6πμrv2)/m (для турбулентного потока)

Зная, что радиус падающей частицы порядка 10-4, можно исключить уравнение для турбулентного потока, т.к. коэффициент Рейнольдса мал.

Известные нам величины:

μ=1,82*105  кг/м

ρ=2,5*103 кг/м3

r=10-4 м

Выразим массу частицы через известные величины: m=4/3*πr3ρ

a= g-(18πμrv)/(4πr3ρ)=g-(9*μv)/(2r2ρ)                     (1)

Определим порядки ускорения, для этого подставим в уравнение известные величины:

a= 9,8-(9*1,82*10-5)/(2*10-8*2,5*103)v=9,8-(9*1,82)/(2*1*2,5)v;

Сокращая порядки, приходим к выводу, что в  расчетах, величины можно представить как:

μ=1,82

ρ=2,5

r=1

Итого, имеется два дифференциальных уравнения:

dv/dt= a, где a значения  формулы (1)

dy/dt=v;

Начальные условия:

v|t=0 = 0;

y|t=0 = 0;
Алгоритм численного решения

Разобьем область изменения переменной t на N интервалов с шагом Dt и заменим в уравнениях дифференциальные выражения их конечно-разностными приближениями, после чего получим итерационные формулы для скорости в точке сетки:

vi+1=vi+ai*dt, где ai=g-(9*μv)/(2r2ρ)                    

yi+1=yi+vi*dt

Теперь напишем программу, которая будет выводить результат в формат *.csv, чтобы в дальнейшем в Excel можно было построить график.

Текстпрограммы

program aero;

uses crt;

const{Запишем в константы величины с которыми мы будем работать}

m=1.82;        { μ }

ro=2.5;          { ρ }

r=1;                {Радиус}

g=9.8;                        {Ускорение свободного падения}

y0=0;             {Начальные условия}

v0=0;

h=150;           {Высота}

dt=0.1;          {Изменение времени}

var

a,v,y,t: real;

f:text;

begin

clrscr;

y:=y0;             {Присваиваем начальные условия переменным}

v:=v0;

assign(f,'result.csv');         {Открываем файл для записи}

rewrite(f);

repeat

v:=v+(g-(9*m*v)/(2*r*r*ro))*dt; {Применяем метод Эйлера}

y:=y+v*dt;

t:=t+dt;

Writeln('t=',t:0:2,'   y=',y:0:2,'      v=',v:0:2);  {Выводим значения на экран}

Write (f,t:0:2);                                                        {И записываем в файл}

Write(f,'; ');

Writeln(f,v:0:2);

until (y>=h);   {Цикл продолжается пока значения координаты y}

close(f);          {не будет больше или равно высоте}

readln;           

end.

Полученные результаты

(при dt=0. 1)

0,1

0,98

0,2

1,64

0,3

2,08

0,4

2,38

0,5

2,58

0,6

2,71

0,7

2,81

0,8

2,87

0,9

2,91

1

2,93

1,1

2,95

1,2

2,97

1,3

2,97

1,4

2,98

1,5

2,98

1,6

2,99

1,7

2,99

1,8

2,99

50,4

2,99

Для экономии места из таблицы были удалены данные с 1,9 до 50,3, т.к. скорость достигла предельной, и надобности в них нет.

Из таблицы можно определить время падения частицы, оно равно 50,4 секунд.

Вывод: Из полученного графика мы видим, что аэрозольную частицу  бросили с большой высоты, и частица достигла максимальной скорости. После того как ускорение стало = 0 частица начала двигаться прямолинейно.

Похожие материалы

Информация о работе