Двоичная система счисления

цифра младшего разряда суммы - 2, а цифра 1 принадлежит более старшему разряду - первому, соответствующего 10¹ — десяткам. Поэтому 2 записываем, 1 — запоминаем, т.е. в младшем разряде суммы, соответствующем единицам, будет 2, а 1, соответствующую более старшему разряду — десяткам, будем учитывать при сложении цифр первого разряда.

Далее складываем цифры первого разряда 4+8 и прибавляем к ним 1, которую запомнили; получаем 13. Теперь цифра, соответствующая первому разряду суммы - 3, а 1 переносится в старший разряд, соответствующий второму разряду суммы — 10², т.е. сотням.

Аналогично выполняется сложение в двоичной системе, например, чисел «шесть» и «семь» (табл. 3.1). Числа шесть и семь в двоичной системе имеют вид:

6  110 (1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 4 + 2 + 0 = 6);

7  111 (1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 4 + 2 + 1 = 7).

Сложение начинаем с нулевого разряда, соответствующего 2⁰:

0 + 1 = 1 (младшая цифра суммы равна 1).

Переходим к сложению цифр первого разряда, соответствующего 2¹: 1 + 1 = 2. Для записи числа 2 в двоичной системе требуется код: 10 (1*2¹ + 0*2⁰ = 2), т.е. цифра первого разряда суммы равна 0, а 1 переносим в старший разряд (нуль записываем, один запоминаем). Таким образом, если сумма цифр больше единицы, происходит перенос в старший разряд. Далее складываем 1+1 и прибавляем 1, которую запомнили, получаем 3. Число З в двоичной системе записываем кодом 11 (1*2¹ + 1*2⁰ = 3), т.е. цифра второго разряда суммы равна 1, а старшая 1 переносится в следующий (третий) разряд.

Таким образом, сумма чисел 110 и 111 равна 1101. Нетрудно убедиться, что это двоичное число – 13 (1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 13).

Примечание. 1 - перенос из младшего разряда в старший; 1 – перенос из старшего разряда в младший; • - заем из старшего разряда

Рассмотрим теперь сущность действия вычитания в десятичной системе на примере: 132 — 87:

• сначала вычитаем цифры нулевого разряда, но так как из двух нельзя вычесть семь, занимаем 1 (один десяток — основание системы счисления) в старшем разряде, что отмечаем точкой над цифрой 3; получаем 10 + 2=12; 12 - 7=5;

• при вычитании цифр первого разряда необходимо занять 1 в следующем старшем разряде и, учитывая, что в первом разряде осталась цифра 2, получаем 10 + 2 - 8 = 4.

Аналогично выполняем вычитание из числа 1101(13) числа 110 (6) в двоичной системе:

• нулевой (2⁰) разряд: 1 – 0 = 1;

• первый (2¹) разряд: из нуля нельзя вычесть единицу, поэтому занимаем 1 (т. е. одно основание системы счисления, равное двум) и получаем 2 - 1 = 1;

•  второй (2²) разряд: из нуля, оставшегося после занимания единицы в этом разряде, нельзя вычесть единицу, поэтому занимаем 1 (основание, равное двум) в третьем (2³) разряде: 2 -1 = 1. Получим 111, т. е. двоичное число «семь».

Покажем, что операцию вычитания можно заменить сложением, но для этого уменьшаемое (т. е. 1101) надо складывать обратным кодом вычитаемого, который получаем, заменив цифры на обратные (т. е. 1 на 0, а 0 на 1). Произведя сложение, переносим 1 из старшего разряда в младший, как показано стрелкой, и получаем двоичный код 111, соответствующий числу «семь».

Действия  умножения и деления (а как доказано в математике, и любые другие операции) можно свести к сложению и вычитанию кодов сдвинутых влево или вправо на то или иное число разрядов. Сдвиг числа влево на один разряд соответствует умножения его на 2, а вправо – деления на 2. Действительно каждая цифра числа при его сдвиге вправо будет иметь вес уже не i-го разряда, т.е. 2ⁱ, а (i+1)-го, т.е. 2ⁱ⁺¹. При сдвиге вправо вес каждой цифры будет уменьшаться в 2 раза, т.е. составит не 2ⁱ, а 2ⁱ⁺¹.

Покажем как с помощью операций сложения и сдвига можно выполнить умножение двоичных чисел. Вычисление произведения осуществляют от старших разрядов множителя к младшим по шагам. На каждом шаге анализируют очередную цифру множителя. Если она равна 1, то к промежуточному результату вычислений прибавляют множимое, если 0, то результат оставляют без изменений. При переходе к более младшему разряду промежуточный результат