Решение нелинейных алгебраических уравнений и их систем (Лабораторная работа № 2)

1. Введение

В научно-технических расчетах часто встречаются нелинейные уравнения вида

,                                                                 (1)

где F(x) - некоторая нелинейная (трансцендентная) функция. Вид ее не позволяет выразить x и найти корень аналитическими методами. Численные же методы позволяют найти приближенное значение корня уравнения с заданной точностью. Некоторые из них требуют задания интервала, на котором предполагается корень (A, B), другие - начального (нулевого) приближения корня . Значение корня ищется путем  последовательных приближений (итераций), которые циклически совершаются по определенному итерационному алгоритму.

Число итераций заранее определить нельзя – они совершаются до выполнения некоторых условий. Например:

                                                                          (2a)

                                                                                (2b)

где       - заданная абсолютная погрешность определения корня;

- заданная погрешность невязки левой части уравнения с нулем.

В лабораторной работе изучаются методы простых итераций, половинного деления (бисекции) и Ньютона.

Система из n нелинейных уравнений относительно n неизвестных может быть представлена в развернутом виде:

                                                        (3)

или в более компактном – векторном:

,                                                                                        (4)

где  - вектор левых частей уравнений, а  - вектор неизвестных, который необходимо найти. В левые части уравнений может входить любое число параметров.

Для решения систем уравнений также используются итерационные методы: Якоби и Зейделя (аналоги метода простых итераций), а также метод Ньютона. В данной работе изучается только метод Ньютона.

Итерационный процесс решения системы уравнений может быть представлен аналогичной схемой, в которой неизвестная величина представляет собой вектор

Итерации выполняются до тех пор, пока не будут выполнены условия малости модулей векторов

                                                                      (5а)

                                                                                              (5б)

Необходимо представлять, что итерации могут сходиться к искомому решению, расходиться от него, а также зацикливаться при неправильном задании погрешностей.

2. Метод простых итераций

Применение этого метода требует предварительного приведения уравнения к виду

                                                                (6)           

Это легко сделать прибавлением  к левой и правой частям уравнения в первоначальном виде:  

 .

Из (6) легко получается итерационная формула:

                                         (7)

Итерации выполняются по ней до тех пор, пока не будет выполняться условие (2a). Условие (2b) в этом методе не может быть использовано.

Итерационный процесс сходится к значению корня, если на интервале итераций выполняется условие:                           

                                                                                           (8)

Графическая интерпретация метод простых итераций представлена на рис. 1. В одной системе координат изображена зависимость левой () и правой () частей формулы (6). Координата  точки 9 пересечения линий есть искомое значение корня. Пусть на (k-1)-ой итерации было получено значение . Вычислив значение правой части от этого аргумента (точка 2), сносим это значение на график левой части (точка 3). Координата  точки 3 (точка 4) дает новое значение неизвестной . Повторяя итерационные действия (точки 4-5-6-7), получаем следующее приближение . Видно, что этот процесс движется к искомому значению корня.

Если график правой части имеет угловой коэффициент, больший единицы (условие 8 не выполняется), то описаные выше итерационные действия приводят к движению от корня. Предлагаем нарисовать и убедиться в этом самостоятельно.

Блок-схема алгоритма метода простых итераций представлена на рис. 2.

3. Метод бисекции

Для некоторых уравнений бывает трудно выбрать нулевое приближение корня. Зато часто можно легко указать интервал, в котором он ожидается