Закон распределения. Моментные функции. Стационарность и эргодичность. Классификация процесса по признакам стационарности и эргодичности

Министерство образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретических

основ радиотехники (ТОР)

Радиотехнические цепи и сигналы

Задание № 3

Закон распределения

Моментные функции. Стационарность и эргодичность

Факультет:  РЭФ                                                                                      Вариант  6

Группа:  РТ5-24                                                                                       Подвариант  4        

Студент:  Доценко С.А.

Дата сдачи:  "21" мая 2004

Преподаватель:  Курилин И.В.

Новосибирск, 2004

Рабочее задание

4.4.2. Закон распределения

Стационарный случайный процесс U(t) описан плотностью вероятности w(u).

Требуется:

a)  получить выражение для функции распределения F(u);

б) построить график F(u);

в) найти выражение для характеристической функции θ(ν) и энтропии Н.

4.4.3. Моментные функции. Стационарность и эргодичность

Задан процесс Z(t). При его описании приняты следующие обозначения:

S₁(t), S₂(t) – детерминированные функции времени, описываемые с помощью постоянных парметров S₀, α, ω₀, p, τ и n;

X и Y – некоррелированные случайные величины с известными математическими ожиданиями m_x и m_y и дисперсиями D_x = σ_x² и D_y = σ_y²;

X(t) и Y(t) – некоррелированные эргодические случайные процессы, которые соответственно имеют известные математические ожидания m_x и m_y и дисперсии D_x = σ_x² и D_y = σ_y² и автокорреляционные функции K_x(τ) и K_y(τ).

Требуется:

а) определить математическое ожидание m_z(t), дисперсию D_z(t) и корреляционную функцию K_z(t₁, t₂) процесса Z(t);

б) классифицировать процесс Z(t) по признакам стационарности и эргодичности.

Результаты выполнения задания

4.4.2. Закон распределения

Исходные данные

Плотность вероятности имеет вид: , -∞ < u < ∞,

где λ = 2.5  1/B,  U₀ = 0.5  B

(a) Функция распределения

(б) График функции распределения

(в) Выражения для характеристической функции и энтропии

Выражение для нахождения характеристической функции:

График характеристической функции

Выражение для вычисления энтропии:

H = 0.777

Энтропия выражает неопределённость закона распределения.

4.4.3. Моментные функции. Стационарность и эргодичность

Исходные данные

Процесс: Z(t) = Ysin(ωt) + S₂(t), где S₂(t) = S₀cos(ωt)

(а) Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция процесса Z(t)

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y:

,

Эти величины по условию известны.

Математическое ожидание процесса

Были использованы свойства:

,

S₂(t) и sin(ωt) не зависят от y, поэтому их можно выносить за знак интеграла

Дисперсия процесса

Корреляционная функция процесса

(б) Классификация процесса по признакам стационарности и эргодичности

Процесс называется стационарным (в широком смысле), если математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит лишь от временного сдвига, но не от времени непосредственно.

В нашем случае мы получили:

,

,

где m_y и D_y – математическое ожидание и дисперсия некоррелированной

случайной величины Y, не зависящие от времени;

то есть математическое ожидание и дисперсия процесса явно зависят от времени.

Полученная корреляционная функция процесса  также явно зависит от времени.

Итак, мы пришли к выводу, что ни одно условие стационарности процесса (в широком смысле) не выполнено, значит, исследуемый процесс нестационарен. Также процесс не является эргодическим, т.к. эргодический процесс – это разновидность стационарного процесса.