Свойства нормального и равномерного распределений, страница 2

Приложение 1. Характеристики случайных величин

Математическое ожидание

Определение. Математическое ожидание случайной величины  есть число:  (для непрерывных распределений);  (для дискретных распределений).

Некоторые свойства математического ожидания.

1.  Для произвольной функции g , если распределение дискретно; , если распределение непрерывно.

2.  , .

3.  .

4.  Математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий: .

5.  Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: , если  и . Замечание: из равенства  не следует независимость случайных величин  и .

Моменты старших порядков. Дисперсия

Определение. Если , то число  называется моментом порядка k (k-м моментом) случайной величины ;  называется абсолютным моментом порядка k (абсолютным k-м моментом) случайной величины ;  называется центральным моментом порядка k (центральным k-м моментом) случайной величины ;  называется абсолютным центральным моментом порядка k (абсолютным центральным k-м моментом) случайной величины.

Определение. Число  (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины .

Определение. Число  называют среднеквадратическим отклонением случайной величины .

Некоторые свойства дисперсии:

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  , если и только если ;

5.  ;

6.  Если  и  независимы, .

Совместное распределение независимых случайных величин:

Приложение 2. Равномерное и нормальное распределения

Равномерное распределение

Краткая запись:

.

Читать: случайная величина  имеет равномерное распределение с параметрами .

Плотность распределения:

.

Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

Нормальное распределение

Краткая запись:

.

Читать: случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами .

Плотность распределения:

.

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Приложение 3. Построение гистограммы

Гистограмма строится по группированным данным. Предполагаемую область значений случайной величины  (или область выборочных данных) делят независимо от выборки на некоторое количество интервалов (не обязательно одинаковых). Пусть  — интервалы на прямой, называемые интервалами группировки. Обозначим для  через  число элементов выборки, попавших в интервал:

, здесь .

На каждом из интервалов  строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна . Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть  — длина интервала . Высота  прямоугольника над  равна

.

Полученная фигура называется гистограммой.

Приложение 4. Основы программирования в Mathcad

·  Вводить элементы программы можно с помощью панели Programming:

·  Программа состоит из последовательно выполняемых строк. Новая строка добавляется с помощью команды Add Line.

Пример:

  

·  Результатом выполнения программы является результат вычисления последней выполненной строки программы.

Пример:

·  Оператор присваивания вводится с помощью кнопки . После выполнения строки, содержащей этот оператор, результат выполнения выражения, стоящего справа от знака присваивания, будет записан в переменную, стоящую слева от знака присваивания.

Пример:

·  Оператор ветвления if используется в случаях, когда некоторые действия нужно выполнять только при выполнении определенного условия. Справа от оператора if вводится условие, слева — действия, которые требуется выполнить; действия могут содержать несколько строк, их можно добавить кнопкой Add Line. Знак равенства в условии вводится комбинацией клавиш Ctrl+= . Оператор otherwise описывает альтернативную ветвь алгоритма (действия, выполняемые в случае, если условие не выполняется).

Пример:

 

·  Цикл с условием организуется с помощью оператора while. Справа от оператора  вводится условия, а действия, которые следует повторять, пока выполняется условие, вводятся ниже оператора.

Пример:

·  Цикл с параметром организуется с помощью оператора for. Действия для повторения (называемые также телом цикла) вводятся ниже оператора. Слева от знака  вводится переменная, называемая параметром цикла. Параметр цикла последовательно принимает значения из диапазона, который указывается справа от знака . Тело цикла выполняется для каждого значения, принимаемого параметром.

Пример: