Построение и экономико-математический анализ моделей межотраслевого баланса. Построение и анализ сетевых моделей планирования и управления: Методические указания к выполнению домашних заданий

Методические указания

1. Построение и экономико-математический анализ моделей межотраслевого баланса

Задача 1.

1.1. Недостающие величины в шахматной таблице МОБ находятся из основных балансовых соотношений:

 ,                                          (1)

,                                                (2)

где X_i - валовой выпуск продукции i-й отрасли; X_ij - производственное потребление продукции i-й отрасли в j-й отрасли; Y_i - конечная продукция i-й отрасли; Z_j- добавленная стоимость, созданная в j-й отрасли; n-  количество отраслей. Конечная продукция i-й отрасли Y_i , например, может включать:

*   личное потребление населения;

*   прирост запасов и резервов;

*   капитальные вложения, возмещение потерь и выбытия основных производственных фондов;

*   экспортно-импортное сальдо, т.е. разность между экспортом и импортом продукции данной отрасли.

Добавленная стоимость j-й отрасли (Z)_j  определяется как разность между стоимостью валового выпуска и всеми материальными затратами j-й отрасли. Основными составляющими добавленной стоимости являются:

*   годовая заработная плата, начисленная всем занятым в этой отрасли рабочим и служащим с учетом отчислений во внебюджетные фонды;

*   амортизация, начисленная в j-й отрасли за год;

*   годовая прибыль всех предприятий данной отрасли и т.д.

Используя формулы (1), (2) последовательно находим:

Таким образом, шахматная таблица МОБ примет вид (табл. 3)

Таблица 3

1.2. Коэффициенты прямых затрат a_ij определяются по формуле:

     .                                                           (3)

Тогда ;;  и т.д., а матрица прямых затрат A=(a_ij) примет вид

.

Коэффициенты прямой трудоемкости (t_j) и прямой фондоемкости  (f_j ) продукции j-й  отрасли находятся по формулам:

  ;      ;                                                            (4)

где L_j - трудовые ресурсы j-й отрасли; - основные производственные фонды j-й отрасли. По формулам (4) находим:

; ; ,

; ; .

Содержательный смысл найденных коэффициентов a_ij, t_j,  f_j  состоит в следующем. a₁₂=0,1 означает, что для производства продукции сельского и лесного хозяйства на 1 млн. руб. необходимо затратить продукции промышленности на 100 тыс. руб. (удобрения, гербициды, горюче-смазочные материалы, зап. части и т. д.). Так, t₁ =0,06 означает, что для производства продукции промышленности на 1 млрд. руб. необходимо использовать в этой отрасли 60 тыс. чел.-лет трудовых ресурсов. Так,  f₂ =0,5 означает, что для производства продукции сельского и лесного хозяйства на 1 млрд. руб. в этой отрасли должно быть задействовано основных производственных фондов на 500 млн. руб. (здания, сооружения, транспорт, комбайны, оборудование и т. д.).

1.3. Линейная статическая модель межотраслевого баланса имеет вид

 ,                                                             (5)

или в матричной форме

 ,                                                                       (6)

где  - вектор валовых выпусков отраслей, A=(a_ij) - матрица коэффициентов прямых затрат, - вектор конечной продукции. В нашем примере система (5) запишется следующим образом

                                (7)

.

Математическая модель (5) представляет собой систему n линейных уравнений, в которой неизвестными величинами могут быть как X_i, так и Y_i. Очевидно, что такая система может иметь единственное решение только в том случае, когда число неизвестных величин не превышает числа уравнений. Принятие одних величин за известные, а других - за неизвестные определяется постановкой конкретной экономической задачи. Типовыми являются следующие задачи:

1.   Определение объемов валового выпуска по заданным объемам конечной продукции.

2.   Определение объемов конечной продукции по данным об объемах валового выпуска.

3.   Определение объемов валового выпуска по одним видам продукции и объемов конечной продукции по другим видам.

В соответствии с условием задачи 1.3. нам необходимо найти вектор валовых выпусков X по заданному вектору конечной продукции Y, т.е. решить первую из вышеперечисленных типовых задач.

Рассмотрим систему (6), т.е. , и запишем ее в несколько ином виде, сделав ряд эквивалентных преобразований:

, где I - единичная матрица порядка n, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы - нули. Таким образом, система (6) может быть представлена следующим образом:

.                                             (8)

Если существует матрица, обратная к матрице (I - A), т.е., если существует матрица (I - A)^-1, то решение X системы (8) может быть найдено по формуле:

.                                                     (9)

Напомним, что обратной к квадратной матрице D называется такая матрица (обозначается D^-1), которая удовлетворяет соотношениям:

.

Матрица (I - A)^-1  называется матрицей полных затрат и обычно обозначается через В, т.е. . Элементы b_ij матрицы В называются коэффициентами полных затрат и имеют важнейшее значение при исследовании и анализе взаимодействия отраслей национальной экономики.

Найдем матрицу полных затрат для модели (7). Алгоритм нахождения обратной матрицы к произвольной квадратной матрице D=(d_ij) состоит из следующих этапов

1.   Находится определитель матрицы D, который обозначается |D|. Если |D| ¹ 0, то обратная матрица D^-1 существует; в противном случае матрица D^-1 не может быть