Методы решения и моделирования задач

нагрева (охлаждения) тела определяется только интенсивностью конвективного теплообмена, а температурное поле в теле однородно (характеризуется незначительными температурными градиентами). При  (практически при Bi>50) бесконечно мало внешнее термическое сопротивление, интенсивность конвективного теплообмена не оказывает влияния на скорость нагрева (охлаждения) тела, которая полностью контролируется внутренним термическим сопротивлением. В этом случае температура поверхности тела практически сразу после начала процесса становится равной температуре внешней среды, в теле наблюдаются максимальные температурные перепады, которые постепенно уменьшаются в ходе процесса.

9.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ

Общие сведения. Методы решения задач нестационарной теплопроводности подразделяются на аналитические, численные и аналоговые.

Аналитические решения нелинейного дифференциального уравнения теплопроводности (8.11) при различных граничных условиях вызывают значительные трудности и получены только для некоторых наиболее простых частных случаев. Для решения линейного (а = const) дифференциального уравнения теплопроводности (8.12) разработаны различные методы, основными из которых являются классический метод Фурье (разделения переменных), операционный метод Лапласа, методы конечных интегральных преобразований и ряд других. Целесообразность выбора того или иного метода определяется удобством его применения, зависящим от конкретных условий задачи.

Метод разделения переменных заключается в том, что сначала находят частное решение задачи, удовлетворяющее дифференциальному уравнению и граничным условиям, — в виде произведения двух функций, одна из которых у(т) зависит только от времени, а другая (х, у, z) только от координаты:

 t(x, у, z, ф) =, где С — произвольная постоянная.

Затем записывается общее решение задачи в виде суммы частных решений:

Коэффициенты С_п  в решении (9.5) находят из условия удовлетворения их начальному условию.

Операционный метод Лапласа состоит в том, что интегрируемое дифференциальное уравнение, а также начальное и гранич-

109