Математическое моделирование технологических процессов: Методические указания к выполнению контрольных работ. Экзаменационные вопросы

фиксированное положение, не совпадающее с положением равновесия) от параметров m, l, φ₀ и g (параметр v следует исключить из рассмотрения, поскольку его удалось выразить через указанные выше параметры). Размерности [•] четырех указанных параметров и периода Т колебаний можно выразить через k = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Т] = с, [m] = = кг, [l] = м, [φ₀] = 0 и [g] = м/с². Поэтому в силу П-теоремы из n = 5 параметров можно составить  безразмерные комбинации, причем угол φ₀, будучи безразмерным, является одной из них. Во вторую безразмерную комбинацию не удается включить массу m материальной точки, поскольку единица измерения массы (кг) входит лишь в размерность массы. Следовательно, величина m не является аргументом искомой зависимости, что можно установить и при построении теоретической ММ рассматриваемого маятника. После исключения параметра m имеем n = 4 и k = 2, т.е. снова , так что наряду с безразмерным параметром φ₀ остальные параметры образуют лишь одну независимую безразмерную комбинацию, которую можно представить в виде

Таким образом, согласно П-теореме, искомую зависимость можно искать в виде

,   или   ,                                         (2.2)

где  – некоторая функция угла φ₀. Установить вид этой функции в рамках теории размерностей нельзя. Для этого необходимо либо провести эксперимент и обработать его результаты в соответствии с первым равенством (2.2), выявив функциональную зависимость безразмерной комбинации  от φ₀, либо воспользоваться теоретической ММ, которая представляет функцию f в виде полного эллиптического интеграла первого рода. Но даже при неизвестных функциях f (или F) при помощи (2.2) можно получить полезные результаты. Например, если известно значение периода Т колебаний для некоторого маятника длиной l при фиксированных значениях g и φ₀, то для маятника длиной l₁ период колебаний будет равен .

Из соображений симметрии (см. рис. 2.3) значение периода колебаний не должно зависеть от знака угла φ₀ первоначального отклонения маятника. Поэтому функция f(φ₀) должна быть четной. Предполагая ее дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки φ₀ = 0 и используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, можно записать , где . Если при φ₀→0 ограничиться лишь первым слагаемым в правой части этого равенства, то из (2.2) получим .

Таким образом, теория размерностей позволяет установить зависимость для периода бесконечно малых колебаний математического маятника с точностью до постоянного множителя f(0). Соответствующая этому случаю хорошо известная теоретическая ММ приводит к значению f(0)=2π.

Пример 2.2. К полуэмпирической следует отнести ММ, включающую известную формулу

                                                          (2.3)

для подъемной силы крыла в дозвуковом воздушном потоке, приходящейся на единицу длины размаха крыла (здесь ρ и v – плотность и скорость набегающего потока, b – так называемая хорда профиля крыла (рис. 2.4), с_у(α) – безразмерный коэффициент, зависящий от формы профиля крыла и характеризуемого углом атаки α направления набегающего потока). Угол атаки и параметры, определяющие форму профиля крыла, безразмерны. Поэтому можно рассматривать влияние n = 4 размерных параметров Р, ρ, v и b, размерности которых можно выразить через k = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Р] = Н/м = кг/с², [ρ] = кг/м³, [v] = м/с, [b] = м, где Н =  (ньютон) – производная единица измерения силы. Согласно П-теореме, из этих размерных параметров можно составить лишь одну () независимую безразмерную комбинацию, которую запишем в виде . Тогда для конкретной формы профиля крыла получим

где функция f(α) может быть найдена экспериментально путем продувки под различными углами атаки геометрически подобной модели крыла