Задания на контрольную работу по дисциплине "Логика" (Найти дизъюнктивную нормальную форму булевой функции c таблицей истинности. Записать высказывания как логические выражения)

ВАРИАНТ 10

№ 1

Пусть P, Q и R – следующие высказывания:

P: Я умираю от жажды.

Q: Мой стакан пуст.

R: Сейчас три часа.

Запишите следующие высказывания как логические выражения:

Если я не умираю от жажды, то мой стакан не пуст.

Я умираю от жажды и мой стакан не пуст.

Если я умираю от жажды, то мой стакан пуст.

№ 2

Докажите высказывание методом математической индукции:

1´1! + 2´2! + ... + n´n! = (n+1)! – 1 для всех натуральных n.

№ 3

В качестве  универсального множества выберем U = {p,q,r,s,t,u,v,w}.

 Пусть A = {p,q,r,s}; B = {r,t,v}; C = {p,s,t,u}.

Найдите элементы следующих множеств:

а) BÇC

б)

в) AÈC

г) (AÈB)Ç(AÇC)

№ 4

Используя законы алгебры множеств докажите следующие тождества:

б)  = AÈBÈC

№ 5

Определите, какие отношения на ℤ (множестве целых чисел) являются рефлексивными, симметричными, а какие транзитивными?

а) «х+y – нечетное число»;

б) «x+y – четное число»;

в) «xy – нечетное число»;

г) «x+xy – четное число».

№ 6

Нарисуйте диаграмму Хассе для частично упорядоченных множеств:

Множество всех подмножеств в {a,b,c} с отношением «X – подмножество Y».

№ 7

Функции f: ℝ®ℝ  и  g: ℝ®ℝ  заданы условием:

f (x) = x²  и .

Выразите формулами композиции: f○g, g○f, g○g.

№ 8

Сколько разных «слов» можно получить из слова «АБРАКАДАБРА»? (по 11 букв каждое слово).

Сколько из них начинаются на «К»?

В скольких из них обе буквы «Б» стоят рядом?

№ 9

Матрица смежности орграфа G имеет вид:

М =

Вычислите М², М³ и М⁴. Найдите матрицу достижимости M^*.

№10

Найдите дизъюнктивную нормальную форму булевой функции f(p,q,r) c  таблицей истинности

Изобразите карту Карно и упростите функцию f. Постройте ее функциональную схему.