7.3. Простейшие типы точек.
Исследуем расположение траекторий в
окрестности точки покоя системы 2 линейных однородных уравнений с
постоянным коэффициентом.
, (7.7)
где .
Имеем решения в виде . Для определения k пишем
характеристическое уравнение:
или
.
Числа
с точностью до постоянного множества
определяется из одного уравнения:
, (7.8)
а) Корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. Общее решение имеет вид:
(7.9),
где -
постоянные, определяемые из уравнения (7.8), соответственно при
и при
, а
-
произвольные постоянные.
При этом возможны следующие случаи:
|
|
д
данного типа, называемой устойчивым узлом. Стрелками показано направление движения траектории при возрастании t.
2) k1 0 и k2
0. Этот случай
переходит в предыдущее при замене t на (-t), поэтому
траектории будут те же, только движение в обратном направлении (рис. 7.2).
Точки близкие к началу координат будут отдаляться , значит точка покоя – неустойчивый узел.
3) Если k1
0 и k2
0, то точка покоя
тоже неустойчива, т.к. движущаяся по
траектории
(7.10)
|
- движение по этой прямой к началу
координат. Движение (7.10) по прямой
от начала координат.
Если же С1
и С2 ≠ 0, то при траектории покидают окрестности начала
координат , такая точка покоя называется седлом, так как расположение
траектории в её окрестности напоминает линии уровня в окрестности седлообразной
точки некоторой поверхности.
б) Корни характеристического уравнения комплексны
Общее решение системы (7.7) можно записать в виде
Где С1 и С2 - произвольные постоянная, С1* и С2* - некоторые линейные комбинации этих постоянных.
Возможны следующие случаи:
·
Если бы было , то траекториями были бы замкнутые кривые,
окружающие точку покоя
(Рис. 7.4.).
Наличие
направляющегося к 0 множителя превращает
замкнутые кривые в спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат
(рис. 7.5.)
Точка покоя – асимптотически устойчива, она называется фокусом.
·
.
Этот случай переходит в предыдущий при замене t на (-t) и движение будет в обратную сторону (от начала координат). Точка покоя неустойчива, т.к. отдаляется от начала координат.
·
· .
Траекториями являются кривые, содержащие точки покоя, называют в этом случае центром (Рис 8.4). Эта точка устойчива, но асимптотической устойчивости нет.
в) Корни кратны
Общее решение имеет вид ,
причем не исключен случай
,
но тогда
будут произвольными постоянными.
Точка покоя называется устойчивым узлом (Рис. 8.7).
Точка покоя асимптотически устойчива.
Если, то получаем устойчивый узел, он
называется дикритическим узлом (Рис. 8.8)
·
Замена переменных t на (-t) сводит к
предыдущему случаю, только движение по траектории будет направлено в другую
сторону, точка покоя называется неустойчивым узлом. Тем самым исчерпаны
все возможности, т.к. случай (или
) исключается условием
.
Пусть , тогда решение системы (7.7) имеет вид:
Исключая tполучим семейство параллельных прямых:
.
Точка покоя устойчива, если , но асимптотической устойчивости нет и при
движение
происходит, приближаясь к точке покоя:
.
При движение происходит в обратном направлении
и точка покоя неустойчива.
Если , то возможно два
случая:
1. Общее решение системы (7.1) имеет вид:
.
Т.е. все точки являются точками покоя, все решения устойчивы
2. ,
- линейные комбинации производных
постоянных
. Точка покоя
неустойчива.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.