Понятие об устойчивости решений однородных дифференциальных уравнений с систем однородных ДУ, страница 2

7.3. Простейшие типы точек.

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя системы 2 линейных однородных уравнений с постоянным коэффициентом.

, (7.7)

где .

Имеем решения в виде . Для определения k пишем характеристическое уравнение:

или

Числа с точностью до постоянного множества определяется из одного уравнения:

, (7.8)

а) Корни характеристического уравнения k₁ и k₂действительны и различны. Общее решение имеет вид:

(7.9),

где - постоянные, определяемые из уравнения (7.8), соответственно при и при , а - произвольные постоянные.

При этом возможны следующие случаи:

Рис. 7.1.

Движение к центру

Рис. 7.2.

Движение от центра

1) если k₁ и k₂<0, то точка покоя х=0, у=0 асимптотически устойчива из-за наличия множителей

, так как точки, лежащие в любой

окрестности начала координат при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в

окрестности начала координат. На рисунке 7.1 изображено расположение траектории для точки покоя

данного типа, называемой устойчивым узлом. Стрелками показано направление движения траектории при возрастании t.

2) k₁ 0 и k₂0. Этот случай переходит в предыдущее при замене t на (-t), поэтому траектории будут те же, только движение в обратном направлении (рис. 7.2).

Точки близкие к началу координат будут отдаляться , значит точка покоя – неустойчивый узел.

3) Если k₁ 0 и k₂0, то точка покоя тоже неустойчива, т.к. движущаяся по траектории (7.10)

Рис. 8.3.

точка при сколь угодно малых значениях С₁ (7.10) выходит из

окрестности начала координат при

. Однако, существуют и движения приближающееся к началу координат, а именно

- движение по этой прямой к началу координат. Движение (7.10) по прямой

от начала координат.

Если же С₁и С₂ ≠ 0, то при траектории покидают окрестности начала координат , такая точка покоя называется седлом, так как расположение траектории в её окрестности напоминает линии уровня в окрестности седлообразной точки некоторой поверхности.

б) Корни характеристического уравнения комплексны

Общее решение системы (7.7) можно записать в виде

Где С₁и С₂ - произвольные постоянная, С₁*и С₂* - некоторые линейные комбинации этих постоянных.

Возможны следующие случаи:

Если бы было , то траекториями были бы замкнутые кривые, окружающие точку покоя (Рис. 7.4.).

Наличие направляющегося к 0 множителя превращает замкнутые кривые в спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат (рис. 7.5.)

Точка покоя – асимптотически устойчива, она называется фокусом.

· .

Этот случай переходит в предыдущий при замене t на (-t) и движение будет в обратную сторону (от начала координат). Точка покоя неустойчива, т.к. отдаляется от начала координат.

· .

Траекториями являются кривые, содержащие точки покоя, называют в этом случае центром (Рис 8.4). Эта точка устойчива, но асимптотической устойчивости нет.

в) Корни кратны

Общее решение имеет вид ,

причем не исключен случай , но тогда будут произвольными постоянными.

Точка покоя называется устойчивым узлом (Рис. 8.7).

Точка покоя асимптотически устойчива.

Если, то получаем устойчивый узел, он называется дикритическим узлом (Рис. 8.8)

Замена переменных t на (-t) сводит к предыдущему случаю, только движение по траектории будет направлено в другую сторону, точка покоя называется неустойчивым узлом. Тем самым исчерпаны все возможности, т.к. случай (или ) исключается условием .