Ответы на экзаменационные вопросы № 10-18 дисциплины "Математические задачи энергетики" (Законы распределения случайных величин. Расчетные формулы показателей надежности, их упрощение и область применения)

10. Законы распределения случайных величин.

Закон распределения случ-й в-ны – любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случ. величин и соответствующими им вероятностями.

Для описания СВ надо знать вероятность принятия ею случайных значений.

В энергетике СВ могут иметь различные законы распределения вероятностей:

1.  равномерный

2.  нормальный

3.  биноминальный

P(x=m)=P_m,n=C_n^mp^mq^n-m , 0<p<1; q=1-p.

4.  Пуассона

P_m =λ^m e^-λ/m!

11. Определение вероятности, подчиняющейся нормальному закону распределения.

Плотность распределения:

a- величина , характеризующая мат ожидание;

σ- величина, характеризующая стандартное отклонение. a, σ = const.

Вероятность:

Нормальный закон распределения вероятностей описывается плотностью распределения. Для проведения расчётов, в которых используется нормальный закон, составляют таблицы

   , табулированная ф-ция:

P(x₁<x<x₂) = (Ф(x₂)-Ф(x₁))/2

12. Определение вероятности, подчиняющийся равномерному закону распределения.

Применяется для определения отказов устройств автоматики, построенной на однотипных элементах.

Величина, имеющая неизменную плотность вер-ти, наз-ся равномерным распределением случайной величины(СВ). При этом функция распределения изменяется по линейному закону.

Непрерывная случ. величина называется равномерно распределенной на интервале [α,β], если ее плотность распределения в этом интервале постоянна.

13. Определение вероятности по закону Пуассона.

Вероятность того что дискретная случайная в-на распределенная по Пуассону примет значение m, определяется P_m =λ^m e^-λ/m! . Вер-ти значений распределенных по Пуассону составляет ряд Р(0)=е^-λ; Р(1)= λe^-λ ; P(2)=0.5λ² e^-λ ….λ - постоянная величина. При малых значениях p и q вероятности различных значений случайных в-н по биноминальному закону близки к аналитическим вероятностям по Пуассону. Во многих случаях при малых p и q биноминальное распределение заменяют распределением по Пуассону.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Дискретная случайная величина Х, называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2,…m, а вероятность того, что x=m, выражается формулой, где а>0, параметр закона Пуассона m_x=a и . Для вычислений применяют таблицы.

, λ(t)-плотность потока.  

Если λ(t)=const то пуассоновск распр наз простейшим

а – матожидание числа точек, попадающих на участок.

14. Определение   вероятности,   подчиняющейся   биноминальному   закону распределения.

Дискретная случайная величина Х распределена по биноминальному закону, если  ее возможные значения 0, 1, 2, 3, 4,…n, а вероятность того, что x=m выражается формулой

P(x=m)=P_m,n=C_n^mp^mq^n-m , 0<p<1; q=1-p.

m_x=np;

D=npx.

15. Качественные определения основных показателей надежности.

Надежность – св-ва объекта выполнять заданные ф-ции при опр-ных условиях функционирования. Безотказность – св-ва объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некот. времени или некот. наработки. Наработка – продолжительность или объем работы объекта.

Долговечность – св-ва объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной с-ме технич. обслуживания и ремонта. Ремонтопригодность – св-ва объекта, заключающиеся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения его отказов и устранению их последствий путем проведения технич. обслуживания и ремонта.

Отказ – события, заключающиеся в полной или частичной утрате объектом его работоспособности.

Работоспособность - состояние объекта, при кот. он способен выполнить все или часть заданных ф-ций в полном или частичном объеме.

 Сохраняемость – св-во объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение и после хранения и/или транспортирования.

Под объектом будем понимать с-му электроснабжения в целом или любой её элемент, для кот. рассчитываются колич. показатели надёжности.

Нанработка – продолжительность или объём работы объекта.

16. Количественные показатели надежности.

Инт. ф-ция распр-ния вер-сти безотк-ной работы 

Численно равна доле начального кол-ва объектов, не отказавших до произв-го, но фиксир. момента времени. N – общее кол-во объектов на момент времени t=0; n – кол-во объектов, не отказавших до фиксир. времени. Если t*=∞, то R(t)=0; если t*=0, то R(t)=1.

Инт. ф-ция распр-ния вер-сти отказа  .

Диф ф-я распр-я вер-тей отказа:

Интенсивность отказов объекта:

R(t)+F(t)=1  Для произв-го момента времени от 0 до ∞ вер-сть безотк-ной работы объекта в течение t и вер-сть его отказа до t обр-ют полную группу несовместных событий F(t)=1-R(t).

17. Аналитическая взаимосвязь основных показателей надежности.

 Под аналитической взаимосвязью колич. показателей надежности понимается совокупность аналит. выр-ний, позволяющих вычислить каждый из показателей надежности через другой.

               R(t)+F(t)=1; 

    ;

  ;  

Основное соотношение, определяющее интенсивность отказа:

Все остальные аналит. ур-ния взаимосвязи показателей надежности приведем в таблице:

18. Расчетные формулы  показателей надежности, их упрощение и область применения.

Поскольку в период норм. эксплуатации для всех объектов с-мы электросна-ния λ=const, то это зн-ние м. б. вычислено экспер-ным путем для всех с-м электросн-ния.

;    ;

                         ;

Интегр. ф-ция распр-ния вер-сти безотк. работы предст-ет собой падающую экспоненту. Большинство объектов с-м электросн-ния  хар-ся малыми зн-ями λ и большим зн-ем времени наработки на отказ, поэтому нелин. зав-сть можно заменить прямолин. участком для t=0. Замена криволин. зав-сти возможна на основе разложения экспоненты в ряд Тейлора:

                        (*)

Задаваясь временем t можно вычислить показатели надежности. Следует отметить, что последние выр-ния (*) допустимо принимать при λ<<1 .