Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

21.                                           22.

23.                                    24.

25.                                         26.

27.                                         28.

29.                                    30.

7. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

7.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Большая часть инженерных задач приводит к законам и правилам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений. Основная задача, решаемая для таких уравнений, - это задача Коши или начальная задача. В подавляющем большинстве случаев она решается с использованием вычислительной техники. Рассмотрим методы решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка  называется функция , обращающая это уравнение в тождество при подстановке. График решения называется интегральной кривой.

На рисунке справа изображено поле направлений, представляющее семейство интегральных кривых уравнения

.                                                         (7.1.1)

Задание начального условия - точки  выделяет из этого семейства конкретную кривую, дающую частное решение уравнения (7.1.1).

Задача нахождения при  решения  дифференциального уравнения (7.1.1), удовлетворяющего начальному условию

                                                                 (7.1.2)

называется задачей Коши. Чаще всего решение ищут на конечном заданном отрезке .

Теорема 7.1. (Теорема существования и единственности решения). Пусть функция  определена и непрерывна в области  и удовлетворяет в ней условию Липшица* по переменной , то есть

 (7.1.3)

Тогда для любого начального значения  существует единственное решение  задачи Коши с заданным начальным условием

определенное на отрезке

На практике для дифференцируемых по  функций  условие(7.1.3) заменяется более грубым условием

                                                              (7.1.4)

то есть условием ограниченности частной производной.

7.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения

Численное решение задачи Коши строится для ее дискретного аналога. В этом случае отрезок  - область непрерывности изменения аргумента  заменяется множеством
 - конечным множеством точек , которое называется сеткой. Величина  - шаг сетки - является, как правило, постоянным, то есть сетки в большинстве случаев равномерные.

Функции, определенные лишь в узлах сетки , называются сеточными. Они помечаются индексом , например, , чаще же значение функции  в узлах сетки  обозначается обычным образом с помощью индекса, например,  или  

В основе построения конкретного численного метода лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения  его дискретным аналогом - уравнением вида

                                       (7.2.1)

где  - значения сеточной функции в  последовательных точках  Сумма в левой части формулы (7.2.1) рассматривается как разностная аппроксимация производной  по одной из формул численного дифференцирования, а правая часть - как специальным образом построенная аппроксимация функции .

При нахождении приближения  в очередной точке сетки по формуле (7.2.1) используются найденные ранее значения сеточной функции  в  предыдущих точках . Такие методы называются -шаговыми. При  уравнение (7.2.1) принимает вид

                                                  (7.2.2)

Соответствующий этой формуле метод называется одношаговым. Вычисление  осуществляется здесь с использованием только одного предыдущего значения .

В случае, когда входящая в уравнение (7.2.1) функция  не зависит от , вычисление  не вызывает затруднений и осуществляется по явной формуле

.                                  (7.2.3)

Соответствующие методы называются явными. Напротив, если  зависит от , на каждом шаге приходится решать относительно  нелинейное уравнение (7.2.1). Методы, реализующие такой алгоритм, называются неявными.

7.3. Решение с помощью рядов Тейлора

Начнем с метода, который теоретически пригоден для решения любых дифференциальных уравнений, но с вычислительной точки зрения не представляет почти никакого практического интереса. Его ценность заключается в том, что он дает некоторый эталон для сравнения различных практически удобных методов.

Запишем разложение функции   в ряд Тейлора в окрестности точки :

         (7.3.1)

где  есть -я производная функции  в точке  Пусть имеется приближенное решение уравнения (7.3.1) для  точки  Найдем приближенное решение для точки , подставив  в формулу (7.3.1). Получим

                                             (7.3.2)

Чем больше членов ряда (7.3.2) взять для вычислений, тем точнее будет приближение. В любом случае необходимо вычислять различные производные функции . Из (7.1.1) имеем  Дифференцируя по , получим

                              (7.3.3)

При этом уравнение (7.3.2) приобретает вид

                                        (7.3.4)

Процедура нахождения решения с помощью ряда Тейлора является