Дифференциальные уравнения с частными производными (уравнения математической физики)

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

8. Дифференциальные уравнения с частными производными (уравнения математической физики)

8.1. Классификация уравнений математической физики

Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение относительно неизвестной функции  двух или более независимых переменных, которое содержит частные производные этой функции.

Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в это уравнение.

Важнейшее значение с точки зрения приложений в физике и технике имеют уравнения с частными производными второго порядка, поэтому основное внимание будет уделено изучению именно таких уравнений. В общем виде дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции двух независимых переменных  записывается следующим образом:

,                                         (8.1.1)

где  - заданная функция восьми аргументов.

Далее будут рассматриваться, в основном, уравнения более простого вида, чем (8.1.1), а именно, линейные уравнения второго порядка

,         (8.1.2)

где коэффициенты  и правая часть  - функции, не зависящие от , которые заданы и непрерывны в некоторой области , называемой областью определения дифференциального уравнения.

Если все коэффициенты уравнения (8.1.2) не зависят от , то оно называется уравнением с постоянными коэффициентами, если же , уравнение называется однородным.

Естественно возникает вопрос о существовании наиболее компактной формы записи уравнения (8.1.2). Оказывается, этого можно добиться надлежащей заменой переменных. Перепишем уравнение (8.1.2) в следующем виде:

,                                (8.1.3)

где . Это уравнение называется линейным относительно старших производных. Сделаем в нем замену переменных  и , обеспечивающую взаимно однозначное соответствие между  и . Тогда

 и . Так как , то , . Найдем вторую производную по , расписав подробно получающееся выражение:

Аналогично можно записать и , . Подставляя эти значения в уравнение (8.1.3), получим

или        где    ,    а

Естественно, для упрощения уравнения  в новых переменных  и  надо так подобрать эти переменные, чтобы хотя бы некоторые члены рассматриваемого уравнения упрощались или вообще обнулялись. Например, можно выбрать  и  так, чтобы . Для этого рассмотрим вспомогательное уравнение , где . Пусть  - какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если теперь выбрать , то . Аналогично, если  - другое частное решение этого же уравнения и , то .

Теорема 8.1. Если  является частным решением уравнения , то  есть общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

.                                              (8.1.4)

Наоборот, если  - общий интеграл обыкновенного дифференциаль-
ного уравнения (8.1.4), то функция  удовлетворяет уравнению .

Решим уравнение (8.1.4), преобразовав его: , . Таким образом, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

                                                      (8.1.5)

Знак подкоренного выражения определяет тип исходного уравнения (8.1.3) в частных производных.

1. Если в точке  , то уравнение  в этой точке называется уравнением гиперболического типа.

2. Если в точке  , то уравнение  в этой точке называется уравнением эллиптического типа.

3. Если в точке  , то уравнение  в этой точке называется уравнением параболического типа.

Так как , то сказанное справедливо и для уравнения .

Уравнение (8.1.4) называется характеристическим для уравнения (8.1.3), а интегралы уравнения (8.1.4) - характеристиками уравнения (8.1.3). Пусть в заданной области  уравнение (8.1.3) однотипно. Рассмотрим все три возможные случая подробнее.

1. Гиперболический тип. Два общих интеграла уравнения (8.1.3)  и  определяют действительные семейства характеристик. Пусть  и  - новые переменные в уравнении (8.1.3). Тогда  или  - первая каноническая форма уравнения гиперболического типа. Если положить  то  . Аналогично,  и . В результате исходное уравнение примет вид . Это вторая каноническая форма уравнения гиперболического типа.

2. Параболический тип. Для уравнения этого типа , имеется, следовательно, лишь один общий интеграл характеристического уравнения . Пусть этот интеграл , положим , , где  - любая функция, не зависящая от . Тогда , потому что при  . Далее  . Тогда исходное для этого случая уравнение  обратится в следующее: . Это канонический вид уравнения параболического типа.

3. Эллиптический тип. Для этого типа уравнения  имеют комплексные общие интегралы. По свойству комплексной переменной, если  - решение уравнения , то  - комплексно-сопряженная функция также будет решением этого уравнения. Пусть , , тогда уравнение эллиптического типа сведется к тому же виду, что и гиперболическое. Чтобы не иметь дело с комплексными переменными, введем новые переменные , тогда . При этом предполагается, что  - аналитические функции.

Вычислим  

Отсюда по свойству комплексных чисел следует, что , так как . Тогда уравнение  превратится в следующее уравнение:  или  - канонический вид уравнения эллиптического типа.

Итак: 1)  - гиперболический тип и  или  - канонический вид уравнения;

2)  - эллиптический тип, а  - канонический вид уравнения;

3)  - параболический тип и  - канонический вид уравнения.

Пример. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения  и привести его к каноническому виду в области гиперболичности.

Дифференциальное уравнение в частных производных, содержащее явно все необходимые коэффициенты, имеет вид . В нашем случае , то есть . Тип уравнения зависит от знака выражения . Если оно отрицательно, то это эллиптический тип, положительно - гиперболический, равно нулю – параболический:

1)  -  область гиперболического типа;

2)  -  область  эллиптического типа;

3)  - область параболического типа.

Все области изображены на рисунке слева. Приведем теперь исходное уравнение к каноническому виду. Для этого решим уравнения (8.1.5):

,

. Итак,  

Пример. Привести к каноническому виду следующее дифференциальное уравнение .

Здесь . Составим и решим характеристическое уравнение: . Отсюда , то есть два первых интеграла характеристического уравнения имеют вид  Обратное преобразование, нужное для нахождения производных , вычисления  и , также легко находится:  . Так как , то исходное уравнение – уравнение гиперболического типа. Его первая каноническая форма , где , , а  определяется из исходного уравнения . В нашем случае . Далее вычисляем необходимые производные: , , , . Тогда  

. Тогда, окончательно, канонический вид исходного уравнения второго примера будет таким .

8.2. Простейшие задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных