Исследование уравнения движения материальной точки с использованием системы MathCAD

Постановка задачи.

       Груз М поднимается в потоке жидкости по несущему тросу 1 ,который в ненагруженном состоянии совпадает с прямой ОО₁  (рис.1).Груз приводится    в

движение тележкой А, соединенной с грузом М тяговым тросом 1. Тележка движется по прямой ОО₁ с заданной скоростью Va. Учитывается поперечная упругость троса 1 и продольная – троса 2.Масса тросов считается равной нулю.В начальный момент времени точка А совпадает с заданной точкой О. Скорость потока U горизонтальна.

     Дано:

               k1:=10300H/м;     α:=30^o;             γ:=0.5;

k2:=2500H/м;       Va:=1м /с;      Vм:=1м /c;

µ₁:=3800Hc/м;     U:=0.7м /с

Исходные данные к проекту

1.Необходимо исследовать с использованием системы MathCAD уравнение движения материальной точки.

2. Построить графики изменения перемещения и скорости движения точки от времени.

3. Сделать графоаналитическую проверку результатов расчетов.

4. . Исследовать влияние изменения массы тела на параметры его движения..

5. Построить графики по полученным результатам, подобрать аппроксимирующую функцию.  

         Описание реализации задач и выводы

Составление уравнений движения. Расчетная механическая мо­дель системы представлена_на рис. 2. На материальную точку М действуют сила G, сила F1 упругости троса 1, сила F2 упругости троса 2, сила .S1 вязкого трения.

Запишем в векторной форме уравнение Ньютона движения точки:

m(dv_M /dt)=G+F1+F2+S1.                                       (1) '

Здесь

F1= -k₁ r _BM , F2=-k₂  r _AM , S1=-mv^r                      (2)

Векторы поперечной деформации  r_BM троса 1, продольной r_AMтроса 2 и вектор v^rскорости относительно потока определяются выражениями

r_{BM =} r_{M -}  r _{B   ,}     r_AM =r_{M --} r_A                                               (3)

    v^r  =v_M  −U

Уравнение (1) удобно расписать в проекциях на оси системы координат Оху с началом в точке О и осью .x, совпадающей с на­правлением ОО₁. В этой системе координат векторы из (1), (2), (3) задаются проекциями

              r_M(x,y),   r_B(x,0),  r_A(v_A t , 0);

              v_M(x,y),  U(Ucosα,−Usinα);

               G(Gsinα,−Gsinα), F₁(0,−κ₁y);

F₂  (−κ₂(x−v_A),−κ₂y);

S₁(−µ₁(x−Ucosα),−µ₁(y+Usinα)) _.                                          (4)                                                                  

 Подставим    (4)  в  (1),получим

mx=−κ₂(x−v_A)−µ₁(x−Ucosα)−Gsinα;

my=−(κ₁+κ₂)y−µ₁(y+Usinα)−Gcosα.                     (5)

для заданных числовых значений параметров  (5) примет вид

x=−2,34(x−t)−3,55x−0,78

y=−12y−3,55y−6,34.

Определение установившегося движения.

 Отыскиваем частные решения системы (6) вида

x* =C₁t+C₂ , y*=C₃t+C₄                                                                    (7)

где С_ь С₂, С₃, С₄ — неизвестные константы. Подставим (7) в (6) и

 сгруппируем слагаемые:

                 2,34(C₁-1)t+(2,34C₂ + 3,55C₁+0,78)=0;

12С₃t+(З,55Сз + 12С₄+6,34)=0.(8)

Уравнения  (8) обращаются в тождества,    когда    коэффициенты при

первой и нулевой степени tпорознь равны нулю. Отсюда

C₁ = l; С₂= — 1,85; С₃=0; С₄ = — 0,53.

Установившееся движение (7) по координатам примет вид

x*=t−1,85; y*=−0,53,(9)

 по    скоростям

v_Mx *   =(d/dt)x*=1 ;  v_Mx *=(d/dt)y*                 (10)

Определение начальных условий. Начальные условия системы (6) по координатам заданы в рассогласованиях от установивше­гося решения

r_M (0)=0,5r_M *(0).(11)

Из (9), (11) запишемx(0)=0,5x*(0) = -0,93 м,у(0) = 0,5y*(0) =  0,27 м

Оценка характерного времени переходного процесса. Запишем характеристические уравнения, соответствующие системе (6): λ² + 3,55λ +2,34 = 0, λ² + 3,55λ+ 12=0.

Корни этих уравнений λi= —0,88, λ₂= —2,68, λ₃,₄= — 1,78± ±i2,97. Следовательно, движение системы имеет одну колеба­тельную и две апериодические составляющие. Найдем период и постоянные времени этих составляющих:

T_п = 6,28/2,97=2,11с, T₁ = 1/0,88= 1,14 с,-

T₂=1/2,68 = 0,373с.                        (12)