Электротехника \ Теоретические основы электротехники

Теоретические основы электротехники: Расчётно-графическая работа № 4. Шифр 863

Страницы работы

26 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Содержание работы

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА

Электротехнический факультет

Кафедра «Электротехника»

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №4

по курсу «Теоретические основы электротехники»

Шифр: 863

Выполнил

студент группы ЭС-21

Матылицкий И. В.

Проверил

ассистент

Воронин А.В.

2006

Задача №1.

В цепи с источником постоянной ЭДС происходит комутация.

Для заданной схемы:

1. Классическим методом определить закон изменения во времени токов всех ветвей схемы и напряжений на катушке u_L(t) и конденсаторе u_c(t).

2. Построить графики изменения во времени тока в катушке i_L(t) и напряжения на её зажимах u_L(t).

3. Операторным методом найти закон изменения во времени тока переходного процесса в катушке i_L(t) или напряжения на конденсаторе u_c(t).

Исходные данные.

E, В	L, мГн	C, мкФ	r₁, Ом	r₂, Ом	r₃, Ом	r₄, Ом
35	110	65	22	17	15	19

Определим классическим методом закон изменения во времени токов всех ветвей схемы и напряжений на катушке u_L(t) и конденсаторе u_c(t).

Примечание.

i_L(0-)=i_Lpre; U_C(0-)=U_Cpre;

i_L(0+)=i_Lsuc; U_C(0+)=U_Csuc;

Es=E;

i_n(0+)=i_sucn;

U_L(0+)= U_Lsuc.

i_n_пр=i_pstn.

U_C_пр=U_Cpst.

Запишем систему дифференциальных уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа для схемы при коммутации:

Принимая во внимание, что:

алгебраизируем данную систему следующим образом:

Найдём её определитель, учитывая, что i₁, i₂, i₃– искомые функции (относительно чего эта система решается):

Delta := Matrix([[1, -1, -1], [22, 0, 15+200000/13/p], [22, .11*p+17, 0]])

det := -(4.070000000*p^2+2651.307692*p+600000.0000)/p

Решаем параметрическое уравнение данной системы:

Находим корни:

Получено два комплексно-сопряжённых корня.

Найдём ток в катушке (i_L(0-)) и напряжение на конденсаторе (U_L(0-)) до коммутации:

Ro[0] := r[1]+r[2]*(r[3]+r[4])/(r[2]+r[3]+r[4]) ; Ro[1] := r[2]*(r[3]+r[4])/(r[2]+r[3]+r[4]) ;

i[Lpre] := Es*Ro[1]/(Ro[0]*r[2]) ; U[Cpre] := Es*Ro[1]*r[4]/(Ro[0]*(r[3]+r[4])) ;

А ; В.

Согласно закону коммутации:

i_L(0-)= i_L(0+) ; U_C(0-)=U_C(0+),

где i_L(0+) – ток в катушке сразу после коммутации; U_C(0+) – напряжение на конденсаторе сразу после коммутации.

А;

В;

Цепь сразу после момента коммутации:

Рассчитаем цепь с помощью метода узловых потенциалов:

phis := solve(phi[1]*(1/r[1]+1/r[3]) = Es/r[1]-i[Lsuc]+U[Csuc]/r[3], phi[1])

В;

i[suc1] := (phi[0]-phi[1]+Es)/r[1] ; i[suc3] := (phi[1]-phi[0]-U[Csuc])/r[3] ;

А; А; А;

В; В;

Выразим производные искомых токов и напряжений:

В результате получим:

Рассчитаем состояние схемы после коммутации при окончании переходного процесса (принуждённый режим):

i[pst1] := Es/(r[1]+r[2])

А; А; А;

В; В;

В результате получим:

Запишем выражения функций токов и напряжений с учётом параметра p и найденных принуждённых значений:

i[1] := proc (t) options operator, arrow; i[pst1]+A[1]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[1]) end proc

i[2] := proc (t) options operator, arrow; i[pst2]+A[2]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[2]) end proc

i[3] := proc (t) options operator, arrow; i[pst3]+A[3]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[3]) end proc

U[L] := proc (t) options operator, arrow; U[Lpst]+A[4]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[4]) end proc

U[C] := proc (t) options operator, arrow; U[Cpst]+A[5]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[5]) end proc

Найдём неизвестные параметры функций с помощью решения следующих систем уравнений. Для этого условимся, что t=0+ (непосредственно после коммутации):

curs[1] := {i[1](0) = i[suc1], (Es-r[2]*i[suc2]-r[1]*i[suc1])*(1-r[1]/(r[3]+r[1]))/Lk-i[suc3]/((r[3]+r[1])*Ck) = id[1]}

curs[2] := {i[2](0) = i[suc2], (Es-r[2]*i[suc2]-r[1]*i[suc1])/Lk = id[2]}

curs[3] := {i[3](0) = i[suc3], -(i[suc3]/Ck+r[1]*(Es-r[2]*i[suc2]-r[1]*i[suc1])/Lk)/(r[3]+r[1]) = id[3]}

$vols[L] := {U[Lsuc] = U[L](0), (r[2]*i[suc2]+r[1]*i[suc1]-Es)*(r[2]+r[1]-r[1]^2/(r[3]+r[1]))/Lk+r[1]*i[suc3]/((r[3]+r[1])*Ck) = Ud[L]}$

vols[C] := {U[Csuc] = U[C](0), i[suc3]/Ck = Ud[C]} ,

где Xd_n– производная функции X_n в точке t=0+:

Системы уравнений составлены по общей схеме:

Перепишем их в числовой форме:

Найдём корни этих уравнений:

Перепишем функции токов и напряжений в соответствии с найденными корнями (берутся корни с A_n>0):

i[3] := .3828235608*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+1.987916830)

Построим графики изменения во времени тока в катушке i_L(t) и напряжения на её зажимах u_L(t).

График изменения во времени тока в катушке (i_L(t)= i₂(t)):

[Plot]

График изменения во времени напряжения на зажимах катушки u_L(t):

[Plot]

Операторным методом найдём закон изменения во времени напряжения на конденсаторе u_c(t).

Независимые начальные условия:

Составим операторную схему замещения цепи:

Запишем уравнения Кирхгофа для обозначенных контуров и токов:

Перепишем в численном виде и решим систему относительно образов токов:

ks := {Ip[2]+Ip[3] = Ip[1], (.11*p+17)*Ip[2]+22*Ip[1] = 0.7700000000e-1+35/p, (200000/13/p+15)*Ip[3]+22*Ip[1] = 28.35000000/p}

Решение системы:

$kssi := {Ip[1] = .3500000000*(2000000000.+8140100.*p+15873.*p^2)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)), Ip[2] = .7000000000*(3446700.*p+5291.*p^2+1000000000.)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)), Ip...$ kssi := [Ip[1] = .3500000000*(2000000000.+8140100.*p+15873.*p^2)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)), Ip[2] = .7000000000*(3446700.*p+5291.*p^2+1000000000.)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)), Ip...

Выразим следующим образом напряжение на конденсаторе:

Up[C] := U[Csuc]/p+Ip[3]/(Ck*p)

Up[C] := .3500000000*(100529.*p^2+146887300.*p+0.3400000000e11)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.))

Определим две функции-образа следующим образом:

Найдём параметр p процесса через уравнение:

В результате получаем следующие решения:

Найдём через лаплас-образ функции напряжения на конденсаторе саму функцию следующим образом:

В результате развёртки экспоненциальных функций и упрощения получим:

Численные отличия функций, полученных при классическом и операторном методе расчёта:

Задача №2

На вход несимметричного чётырёхполюсника подаётся импульс напряжения u₁(t) длительностью t₀. Значения параметров элементов схемы четырёхполюсника и параметров импульса приведены в таблицы. Определить закон изменения во времени напряжения u₂(t) и построить в масштабе его график. Задачу решить с помощью интеграла Дюамеля.

*r₁ ,*Ом	r₂ , Ом	r₃ , Ом	L,мГн	С, мкФ	*U₀ ,*В	*t0 ,*мс
8	4	6	22	55	18	8

Определим переходную функцию h(t) для выходных зажимов исследуемой цепи. (Переходная функция – зависимость напряжения на выходе схемы от времени при подаче на вход схемы единичного напряжения. Понятие переходной функции как и весь способ применимо только к схемам с нулевыми независимыми начальными условиями.)

Для определения переходной функции для напряжения на выходе четырёхполюсника h(t) необходимо знать ток i₃ 3-й ветви, напряжение на которой и является напряжением на выходе. Для этого запишем по законам Кирхгофа и решим систему относительно токов i₁ , i₃:

ks := {i[1]+i[L] = i[3], r[2]*i[L]+Lk*(diff(i[L], t))+r[3]*i[3] = Es1}

После умножения полученного выражения для тока i₃ на r₃ получим следующее выражение для h(t) :

h(t)=

Запишем выражение h(t-τ) путём формальной замены t на (t-τ): τ – переменная интегрирования; t – момент времени выходного напряжения:

h(t-τ)=

Найдём аналитическое выражение для функции входного импульса:

С помощью интеграла Дюамеля определим функцию напряжение на выходе четырёхполюсника:

U[21] := 2*U[0]*h[t_]+int((diff(U[a1], tau))*h[tau_], tau = 0 .. t)

U[22] := 2*U[0]*h[t_]+int((diff(U[a1], tau))*h[tau_], tau = 0 .. 1/2*t0)-U[0]*h[t_t0]+int((diff(U[b1], tau))*h[tau_], tau = 1/2*t0 .. t)

U[23] := 2*U[0]*h[t_]+int((diff(U[a1], tau))*h[tau_], tau = 0 .. 1/2*t0)-U[0]*h[t_t0]+int((diff(U[b1], tau))*h[tau_], tau = 1/2*t0 .. t0)-1/2*U[0]*h[t_end]+int((diff(U[c1], tau))*h[tau_], tau = t0 .. ...