Расчет многопролетной шарнирной балки

Страницы работы

Содержание работы

РГР № 1, задача 1. расчет многопролетной

шарнирной балки

Рисунок 1

1 Кинематический анализ балки

Балка состоит из двух дисков Д1 и Д2 (Д = 2), одного простого шарнира Ш (Ш = 1) и четырех опорных стержней С1С4 (СОП = 4) (рисунок 2).

Рисунок 2

1. Определяем степень свободы системы по формуле Чебышева

W = 3Д – 2ШСоп = 3 × 2 – 2 × 1 – 4 = 0.

Так как W = 0, балка статически определима и может быть геометрически неизменяемой.

2. Проводим структурный анализ системы. Диск Д1 присоединен к земле при помощи трех опорных стержней С1, С2, С3, не параллельных между собой и не пересекающихся в одной точке. Следовательно, систему Д1–земля можно считать одним диском. К нему посредством шарнира Ш и стержня С4 прикреплен диск Д2, причем ось стержня не проходит через шарнир.

Таким образом, данная многопролетная балка является статически определимой, геометрически неизменяемой и неподвижно прикрепленной к земле.

2 Построение эпюр внутренних усилий от неподвижной нагрузки

Наметим расчетные сечения 1–6 (рисунок 3, а). Изобразим поэтажную схему (рисунок 3, б), в которой двухопорная балка 1–5 является основной, балка 5–8 – дополнительной.

Расчет начнем с дополнительной балки 5–8, на которую действует только заданная нагрузка. Рассматриваем ее как простую двухопорную балку (рисунок 3, в). Составим уравнения моментов относительно правой и левой опор:

М7 = 0;   – V5 · 2d + 2P · 2dPd = 0,    ∑М5 = 0;    V7 · 2dP · 3d = 0,

откуда  V5 = (4PdPd)/2d = 1,5PV7 = 3Pd/2d = 1,5P.

Проверка: SY = V5 + V7 – 2PP = 1,5P + 1,5P – 3P = 0.

Далее выполняем расчет основной балки 8–11, которая загружена заданной нагрузкой и сосредоточенной силой, равной соответствующей опорной реакции вышерасположенной балки 5–8: V5 = 1,5P.

Составим уравнения моментов относительно правой и левой опор:

М4 = 0;  – V1 · 3dV5 · d + 2P · 2d – 0,5Pd = 0, 

М1 = 0;  V4 · 3dV5 · 4d – 2Pd – 0,5P · 2d = 0,

откуда  V1 = (– 1,5Pd + 4Pd – 0,5Pd)/3d = PV4 = (1,5P · 4d + 2Pd + Pd)/3d = 3P.

Проверка: SY = V1 + V4V5 – 2P – 0,5P = P + 3P – 1,5P – 2P – 0,5P = 0.

 

Рисунок 3

Определяем методом сечений внутренние поперечные силы и изгибающие моменты в расчетных точках, рассматривая отдельные однопролетные балки (см. рисунок 3, в).

Балка 1–5.

Q1 = Q2слева = V1 = P,

Q2справа = V1 – 2Р =

= P – 2Р = –Р,

Q3справа = V1 – 2Р – 0,5Р =

= Р – 2,5Р = –1,5P,

Q4справа = Q5слева = V5 = 1,5P;

М1 = 0, М2 = V1 · d = Pd,

М3 = V1 · 2d – 2P · d =

= 2Pd – 2Pd = 0,

М4 = –V5 · d = –1,5Pd.

Балка 5–8.

Q5справа = Q6 = Q7слева = V5

– 2Р = 1,5Р – 2Р = –0,5P,

Q7справа = Q8 = P;

М5 = 0,

М6 = V5 · d – 2P · d =

= 1,5Pd – 2Pd = –0,5Pd,

М7 = –Рd, М8 = 0.

Строим эпюры Q и M (рисунок 3, г).

3 Построение линий влияния статическим методом

Для заданной многпролетной балки (рисунок 4, а) изображаем поэтажную схему (рисунок 4, б).

Линия влияния V1. Опора 1 относится к основной балке 1–5. Вначале строим линию влияния в пределах этой балки (рисунок 5, а),  при этом положение силы Р = 1 задаем координатой z1, отсчитываемой от опоры 1. Составим уравнение равновесия SМ4 = 0:

1 × (3dz1) – V1· 3d = 0,  отсюда V1 = 1 – z1/3d.

Определим V1 при расположении груза Р = 1 в двух характерных точках:

 (груз на опоре 1),   (груз на опоре 4).

По полученным ординатам в пределах балки 1–5 проводим прямую.

Далее продолжаем линию влияния в вышерасположенную дополнительную балку 5–8. Уже известную ординату в сечении 5 соединяем с нулевой ординатой под опорой 7. Характерные значения вычисляем из подобия треугольников. Линия влияния V1 показана на рисунке 4, в.

Линия влияния V4. Опора 4 также принадлежит основной балке 1–5. Построение ведем аналогично. Составим уравнение SМ1 = 0:

– 1 × z1 + V4 · 3d = 0,  отсюда V4 = z1/3d.

 (груз на опоре 1),   (груз на опоре 4).

По полученным ординатам в пределах балки 1–5 проводим прямую.

Далее уже известную ординату в сечении 5 соединяем с нулевой ординатой под опорой 7. Характерные значения вычисляем из подобия треугольников. Линия влияния V4 показана на рисунке 4, г.

Рисунок 4

Линия влияния v7. Опора 7 принадлежит дополнительной балке 5–8, поэтому линия влияния будет расположена только в ее пределах. Начало координат выберем на опоре 5, положение груза Р = 1 будем задавать координатой z2. Составим уравнение  равновесия SМ5 = 0;

V7 · 2d – 1 × z2 = 0, откуда V7 = z2/2d.

 

(груз на опоре 5), 

 

(груз на опоре 7).

По полученным ординатам строим линию влияния  V7  (рисунок 4, д).

Рисунок 5

Линии влияния Q2 и М2. Сечение 2 расположено  между  опорами  основной  балки 1–4, поэтому вначале построим л. в. под ней (рисунок 6, а). Рассечем балку в точке 2 (рисунок 5, б, в) и рассмотрим равновесие той ее части, на которой нет груза Р = 1 (таблица 1).

Таблица 1. Построение л. в. Q2 и М2.

Груз Р = 1 слева

от сечения 2

Груз Р = 1 справа

от сечения 2

SYправ. ч. = 0, Q2 = –V4.

SYлев. ч. = 0, Q2 = V1.

Л. в. Q2 = – л. в. V4

(левее т. 2).

Л. в. Q2 = л. в. V1

(правее т. 2).

SМ2прав. ч. = 0,

М2 = V4 · 2d.

SМ2лев. ч. = 0,

М2 = V1 · d.

Л. в. М2 = 2d · л. в.V4

(левее т. 2).

Л. в. М2 = d · л. в.V1

(правее т. 2).

Похожие материалы

Информация о работе