Многомерные СУ, их математическое описание. Метод пространства состояния. Собственные значения и вектора матрицы, страница 2

Для систем, описываемых диф. уравнениями в форме Коши, уравнения (3.1) и (3.2) могут быть записаны в общей форме:

где  - вектор первых производных переменных состояния. 

Для дискретных цифровых СУ уравнения состояния принимают вид

Если система описывается линейными диф. уравнениями, то уравнения состояния системы таковы:

где  A (t) –  матрица коэффициентов;

В (t) –  матрица управления;

C (t) –  матрица выхода;

D (t)  –  матрица обхода системы.

С учетом векторов возмущений на входе w(t) и выходе v(t) системы уравнения состояния будут иметь вид:

Если элементы матриц A, В, C и D не зависят от времени, а возмущений w(t) и v(t) нет, то

В области изображений уравнения состояния имеют вид:

                                                                                                                 (3.3)

Откуда

или

гдеI- единичная матрица.
  С учетом этого уравнение выхода имеет вид

или

                                                                                                                        (3.4)

гдеW(s) - матричная ПФ системы.

          Порядок определения матрицы, обратной для [Is -A].

1. Составляют матрицу, каждый элемент которой  - алгебраическое дополнение соответствующего элемента [Is -A], т.е. минор этого элемента, умноженный на (-1)^{i + j}.

          Минор элемента - это детерминант матрицы, полученной вычеркиванием i-строки иj-го столбца.

2.  Транспонированием полученной матрицы находят присоединенную для [Is -A] матрицу adj [Is -A].

3. Вычисляют определитель ½Is -A½.

4. Определяют обратную для [Is -A] матрицу по формуле:

                                                                                                                (3.5)

Матрица Ф(t), определяемая обратным преобразованием Лапласа,

                                                                                                                  (3.6)

называется переходной (фундаментальной) матрицей. Она также может быть найдена из выражения

                                                                                                                    (3.7)

Изменение вектора состояния во времени при известном векторе управления определяется решением уравнения

                                                                                           (3.8)

где х(0) - начальное положение вектора х(t) в момент t = 0.

          При расчете СУ часто необходимо найти значения l, для которых существуют решения системы однородных алгебраических уравнений

                                                           (3.9)

Значения l называются собственными значениями матрицы А = [aij]. Соответствующие им векторные решения собственными векторами матрицы А.
В векторных обозначениях система уравнений (3.9) имеет вид

А x =  lx.

Откуда

                                                                 [А - lI] = 0.                                                          (3.10)

Уравнение (3.10) имеет решение только, когда определитель ½А - lI½ равен нулю, т.е.

                                                                                                    (3.11)

          Разложение определителя приводит к характеристическому уравнению, из которого находятся все nсобственных значений l₁, l₂, …, l_n, матрицы А.

          Определитель ½А - l I½можно записать в виде полинома n-й степени

f(l) =½А - l I½= (- l)ⁿ + b_n-1 (- l) ^n-1 +  …+ b₁ (- l) + b₀ . Функция f(l) называется характеристической или собственной функцией матрицы А .

Способ описания “вход-выход”

При его использовании для описания многомерных систем применяют выражение с ПФ (3.4):

где

                                                                                                         (3.12)

Матрицы с элементами в виде весовых  w_ij(t)или переходных h_ij(t) функций называются соответственно весовой
w(t)или переходной h(t) матрицами. Передаточная и весовая матрицы связаны соотношением

Если воздействия приложены к элементу одновременно в момент t= 0, то

или в скалярной форме