Матрицы. Линейные уравнения. LU-разложение. Дифференциальные уравнения. Экспонента от матрицы

Матрицы

Это совокупность элементов, расположенных в виде таблицы. В обозначении элементов а_{i j}  i – номер строки, j – номер столбца матрицы. В зависимости от типа элементов матрицы бывают вещественными и комплексными. Если А комплексная матрица с элементами а_{i j} = a _{i j} + jb _{i j} , то матрица с элементами а^*_{i j} = a _{i j} – jb _{i j}  называется комплексно – сопряженной.

Если число строк и столбцов равны, то матрица квадратная. Если в ней всего одна строка или один столбец, то матрицу называют вектором – строкой или вектором – столбцом.

Совокупность ii–клеток называют главной диагональю квадратной матрицы. Если все остальные элементы равны нулю, то матрицу называют диагональной, записывая кратко

А = diag(а₁, а₁, … , а_n).

Диагональная матрица

Если все элементы диагональной матрицы равны 1, то она единичная матрица I (или Е) n–го порядка. Если все элементы матрицы (n x m) равны нулю, то она нулевая, обозначается 0.

Квадратная матрица называется верхней U (нижней L) треугольной, если равны нулю все элементы, расположенные под (над) главной диагональю.

Единичная матрица

Верхняя треугольная матрица

Нижняя треугольная матрица

Сумма матриц А и В одинакового размера – это матрица С того же размера, каждый элемент которой c_{i j} равен сумме соответствующих элементов матриц А и В: а_{i j} + b_{i j}.

Произведение матрицы А (m x n) на В (n x r) – это матрица С (m x r), элемент которой c_{i j} равен сумме произведений элементов i–й строки А на элементы j–го столбца В.

Умножение А на В допустимо, т.е. произведение существует (матрицы согласуются по форме), если число столбцов А равно числу строк В.

Различают умножение матриц слева и справа, ибо их результаты не одинаковы.

При замене строк матрицы А на столбцы получают транспонированную матрицу А^т.

Если матрица А совпадает со своей транспонированной, т.е. А = А^т , то она называется симметричной (относительно главной диагонали). Если А = – А^т , то матрица называется кососимметричной (диагональные элементы равны нулю).

Симметричная матрица

Кососимметричная матрица

Комплексно–сопряженная и транспонированная матрица называется сопряженной с А и обозначается А^*.

Если матрица А = А^*, то она называется эрмитовой; если А = –А^*, то она называется косоэрмитовой матрицей.

С матрицами можно производить обычные вычислительные действия – возводить в степень, дифференцировать, интегрировать.

Эрмитова матрица

Матричное уравнение Ах = q решается умножением обеих частей слева на обратную матрицу А^–1, т.е.

А^–1 Ах = А^–1 q  или    х = А^–1 q  .

По правилу Крамера неизвестные х_k

где D – определитель матрицы, det A;

D _ik – алгебраические дополнения, которые вычисляются как определитель матрицы, полученной вычеркиванием из матрицы А  i–й строки и k–го столбца, умноженный на (–1) ^{i + k} .

Часто определитель обозначают |А| , алгебраическое дополнение А_ik . Обратную матрицу находят, умножив присоединеннную матрицу adj А на D^–1.

Обратная матрица существует, если det A¹ 0 , т.е. матрица А неособенная (невырожденная). (АВ)^–1 = А^–1 В^–1 .

Для упрощения вычислений матрицы можно разбить на блоки. Такие блочные матрицы допускают обычные действия над собой. Это уменьшает размеры вычисляемых матриц и очень удобно, если можно выделить нулевые блоки.

Блочная матрица

Если в определителе n–го порядка выделить k различных строк  и столько же различных столбцов, то их элементы образуют свой определитель – минор k–го порядка М_k . Оставшиеся элементы других (n – k) строк и столбцов образуют дополнительный к  М_k минор (n – k) –го порядка .

Миноры из строк и столбцов с одинаковыми номерами i i называют главными (диаг. элементы D).

Определитель D n–го порядка выражается через элементы а_{i j} любой его строки или столбца и алгебраические дополнения D _{i j} этих элементов как

Это позволяет представить определитель n–го порядка через определители (n – 1)–го порядка.

Наиболее просто вычисляется определитель треугольной или диагональной матрицы: он равен произведению диагональных элементов.

Линейные уравнения

Для решения системы неоднородных уравнений Ax = b используют метод исключения неизвестных в алгоритме Гаусса. Для этого берут расширенную матрицу системы [А, b] и за счет операций над ее строками преобразуют в матрицу [U, y] , где U – верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, y – преобразованный столбец свободных членов. И вместо A x = b:

получим уравнение U x = y, или

из которого легко последовательно найти неизвестные хm, хm–1, …, х1.

Для такого преобразования (Гаусса):

1) в первой строке [A, b] все элементы делим на первый элемент а₁₁;

2) прибавляем к каждой i–й строке первую строку, умноженную на – а_{i 1} , получая первый столбец с единственным ненулевым элементом 1;