Математические методы: Методические указания для выполнения курсового проекта

аналогии составим уравнения для остальных 3-х интенсивностей и получим систему уравнений Колмогорова для заданной экономической системы.

Для решения данной системы необходимо добавить уравнение

.

Так как в предельном состоянии системы вероятности являются постоянными величинами, то их производные равны нулю. Поэтому для нахождения предельных вероятностей необходимо решить систему.

Решив полученную систему, получим:

Получили, что в предельном состоянии заданная экономическая система будет находиться в состоянии  с вероятностью 0,181, в состоянии  с вероятностью 0,347, в состоянии  с вероятностью 0,286, в состоянии  с вероятностью 0,186.

5.8 Процесс гибели и размножения.

Размеченный граф состояний в установившемся режиме для процесса гибели и размножения приведен на рисунке.

Рис. 5.8.1 – Граф состояний процесса гибели и размножения.

Найдите вероятности состояний.

Решение.

Изобразим граф состояний процесса гибели и размножения в общем виде:

Рис. 5.8.2 – Граф общего вида для процесса гибели и размножения.

Для нахождения вероятностей состояний процесса гибели и размножения необходимо воспользоваться формулами:

Применим данные формулы для вычисления вероятностей состояний заданного процесса.

Найдем вероятность состояния .

Найдем финальные вероятности остальных состояний системы.

Получили, что в состоянии  система будет находиться 8,45% времени, в состоянии  25,35%, в состоянии  12,68%, в состоянии  8,45%, в состоянии  16,9%, в состоянии  28,17%.

5.9 Одноканальные системы массового обслуживания с отказами.

Автозаправочная станция (АЗС) имеет одну заправочную колонку. Площадка при станции не допускает пребывание машин в очереди на заправку. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность 1 машина в минуту. Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Определить: вероятность отказа; относительную и абсолютную пропускную способности АЗС.

Решение.

По условию АЗС имеет 2 заправку, значит, она является 1-канальной СМО. Так как площадка на станции не допускает пребывание машин в очереди, то если машина обслуживается, другие получат в это время отказ, значит, данная СМО является 1-канальной СМО с отказами.

Данная СМО имеет 2 состояния:  – канал свободен,  – канал занят.

Этим состояниям соответствуют вероятности  и .

Запишем формулы для их вычисления:

Необходимо найти вероятность отказа в обслуживании. В данном случае, если канал занят, т.е. система находится в состоянии , то заявка получает отказ, следовательно, вероятность отказа равна вероятности нахождения системы в состоянии , т.е.

 – относительная пропускная способность системы, т.е. часть автомобилей, обслуживаемых системой, из всех автомобилей, которые приезжают на АЗС.

В данном случае относительная пропускная способность равна вероятности того, что АЗС свободна.

Чтобы найти абсолютную пропускную способность системы, необходимо воспользоваться следующей формулой:

Найдем необходимые показатели эффективности по формулам (5.9.3) – (5.9.5).

Итак, получили, что из всех приезжавших на АЗС автомобилей, обслуживается в среднем только 44%, остальные 56% получают отказ в обслуживании.

В среднем за минуту обслуживается 0,44 автомобиля.

Полученные характеристики АЗС указывают на то, что СМО работает неэффективно, поэтому необходимо увеличивать количество заправочных