Исследование голограмм элементарных объектов, страница 8

Теоретическое выражение для распределения интенсивности I в дифракционной картине объекта типа "щель" при облучении его плоской монохроматической волной было получено Фраунгофером и записывается как

            I = I₀ [sin (ka sin θ ) / ka sin θ]² = I₀ [sin Ψ/ Ψ]²,                          (7.1)

где    k = 2π / λ  -  - волновое число;   a- - полуширина щели.

Выражение (7.1) будет каждый раз обращаться в нуль, если аргумент синуса Ψ будет кратен nπ, где n = ± 1, 2, 3... Относительно угла θ данное условие запишется следующим образом:

                                  sin θ_n ≈ θ_n = nλ / 2a.                                               (7.2)

Выражение (7.2) позволяет понять, почему падающая волна должна быть монохроматичной. При освещении объекта немонохроматичным потоком, т. е. не обладающим временной когерентностью, различным значениям  λ будут соответствовать различные пространственные положения минимумов, а соответственно, и максимумов  интенсивности. В результате суперпозиции многих дифракционных картин возникает некоторое усредненное распределение, имеющее апериодический характер, в котором информация об объекте будет потеряна.

Дифракционная картина, возникающая при когерентном освещении объекта, содержит нули и максимумы интенсивности. При регистрации распределения в дифракционной картине важным является не угловое, а линейное положение экстремумов в плоскости наблюдения, зависящее от расстояния “объект – плоскость z₀”. По положениям x_n можно вычислить искомую ширину измеряемого объекта 2а. При z₀ >> x_n, когда угол θ_n невелик, справедливо соотношение x_n ≈ z₀ θ_n. С учетом (7.2)  для координат минимумов интенсивности получим:

                                                      x_n ≈ z₀ nλ / 2a.                                               (7.3)

Приняв во внимание соотношение z₀ >> x_n, для произвольного угла θ можно записать sin θ ≈ θ = x / z₀, а для аргумента синуса в (7.1)

Ψ = 2π a x / λ z₀.

По известным координатам минимумов можно вычислить искомую ширину измеряемого объекта 2а ≈ z₀ nλ / x_n.

В силу неопределенности начала отсчета координаты x_n на практике искомый линейный размер 2а удобнее рассчитывать по взаимному положению двух соседних нулей интенсивности в дифракционной картине. Трудностью здесь является отсутствие эквидистантности экстремальных точек дифракционной картины в плоскости регистрации. Из рис. 7.1 легко понять, что с ростом дифракционного порядка n расстояние между соседними минимумами увеличивается. Поэтому в качестве информа-ционных целесообразно использовать низкие порядки, например, измерять расстояние между минимумами симметричных относительно оси z первых  или первого и второго порядков. Для последнего случая, используя (7.3), получим:

2а ≈ z₀ λ / (x₂ - x₁).

Техническая реализация метода предполагает использование визуального канала мощного микроскопа для наведения лазерного зонда на измеряемый элемент. Контроль дифракционного распределения осущест-вляется в прямом или отраженном свете, например с помощью многоэлементного линейного ПЗС-фотоприемника. При этом в плоскости регистрации (плоскости фотоприемника) расстояние между соседними минимумами будет зависеть еще и от углового увеличения оптической системы Г^×. Ввиду того, что значения Г^× и z₀  не удается точно задать или измерить, целесообразно калибровать измерительное устройство по эталону с целью определения обобщенной константы C, связывающей искомый размер элемента и разность координат минимумов в плоскости фотоприемника: 2а = С / (x₂ - x₁).