Проверка гипотезы о пуассоновском распределении числа сообщений в информационном потоке

5. Проверка гипотезы о пуассоновском распределении числа сообщений в информационном потоке.

Если тесты (см. пп. 5.4.1 и 5.4.2) дали положительный резуль­тат (т.е. гипотезы о стационарности и отсутствии последействия не от­клонены), то следует выполнить проверку гипотезы о том, что закон распределения числа сообщений (т.е. величин X_i, i=1,..., m) пуассонов-ский. Для этого можно воспользоваться критерием согласия Пирсона χ² [9].

Выборка наблюдений содержит пт элементов X_i^(j) (j=1,...,n; i=1,...,m). Каждое наблюдение X_i^(j) — число сообщений в течение интервала Δt = 1 ч в j-е сутки наблюдений.

По выборке находим оценку параметра а закона распределения Пуас­сона:

(15)

Для вычисления статистики критерия необходимо:

разбить диапазон значений X_i^(j) на k>6 классов так, чтобы число наблюде­ний п каждого класса было бы не менее 5 -:- 6;

рассчитать теоретические вероятности р_μ   попадания в каждый класс значений:

(16)

Суммирование в выражении (16) осуществляется по значениям числа сообщений, принадлежащих μ-ому классу. Для последнего (k-гo) класса

(17)

а для первого класса суммирование начинается с j = 0; найти значение статистики

(18)

Эта статистика имеет χ² - распределение с числом степеней свободы    v=k-1-r, где г - число параметров закона распределения, оценки которых получены по выборке и использованы при вычислении χ² (для зако­на распределения Пуассона г=1). Статистика χ² принимает большие значения, когда экспериментальные данные не соответствуют гипотезе о пуассоновском распределении. В процессе проверки гипотезы необ­ходимо:

задаться уровнем значимости α (0,05 или 0,01);

по таблице из [9,11] найти квантиль χ² распределения порядка  1-α  при ν  степенях свободы (χ²_1-λ,ν);

если рассчитанное значение χ² > χ²_1-λ,ν, то гипотеза о том, что закон распределения пуассоновский, отклоняется. В противном случае делается вывод о том, что имеющиеся данные не противоречат предположению о пуассоновском распределении числа событий.