Елементи квантової механiки (Індивідуальне завдання № 6 із 50 питань)

ІІІ семестр

Індивідуальне завдання № 6

Елементи квантової механіки

Співвідношення невизначеностей

1.  Вважаючи що невизначеність координати електрона в основному стані атома водню дорівнює радіусу першої борівської орбіти, знайти невизначеність швидкості електрона в цьому стані і порівняти її зі швидкістю електрона на першій борівській орбіті.

2.  Вважаючи що кінетична енергія електрона в основному стані атома водню невизначена у межах від 0 до 10 еВ, знайти невизначеність координати електрона в цьому стані і порівняти її з радіусом першої борівської орбіти.

3.  Пучок електронів, прискорених різницею потенціалів 1000 В на виході з електронної пушки має поперечний розмір 0,2 мм. Використовуючи співвідношення невизначеностей координати та імпульсу, оцінити поперечний розмір пучка на відстані 10 м.

4.  Електрон знаходиться в дуже маленькій металевій кулі діаметром 0,5 мкм при температурі 27˚С. Оцінити відносну неточність (у відсотках), з якою може бути визначена швидкість електрона.

5.  Електрон з середньою кінетичною енергією 15 еВ знаходиться в дуже маленькій металевій кулі діаметром 1 мкм. З якою взагалі точністю DЕ_к можна казати про його кінетичну енергію?

6.  В скільки разів дебройлівська довжина хвилі частинки менше невизначеності її координати, якщо відносна невизначеність імпульсу складає 2%?

7.  Знайти невизначеність координати протону, який має кінетичну енергію 100 еВ, а невизначеність його швидкості складає 5%.

8.  Яка буде відносна невизначеність імпульсу (Dp/p) деякої частинки, якщо невизначеність координати цієї частинки дорівнює довжині її хвилі де Бройля?

9.  Знайти невизначеність координати частинки, що має довжину хвилі де Бройля 100 Ǻ. Невизначеність швидкості частинки складає 4%.

10.  З якою точністю можна казати про швидкість протона в атомному ядрі
(r ~ 10^–15 м) згідно співвідношенню невизначеностей координати та імпульсу?

11.  Використовуючи співвідношення невизначеностей для енергії та часу оцінити відносне розширення (Dl/l) спектральної лінії, якщо час життя атома у збудженому стані Dt = 10^–8 с, а довжина хвилі фотона що випромінюється 0,6 мкм.

12.  Оцінити час життя атома у збудженому стані Dt, якщо відносне розширення (Dl/l) спектральної лінії l = 0,54 мкм завдяки невизначеності енергії та часу складає 0,5%.

13.  Використовуючи співвідношення невизначеностей для енергії та часу оцінити ширину Dn спектральної лінії, якщо час життя атома у збудженому стані Dt = 3·10^–8 с.

14.  Використовуючи співвідношення невизначеностей для енергії та часу оцінити невизначеність маси фотона, що випромінюється, коли час життя атома у збудженому стані Dt = 2·10^–8 с.

15.  Оцінити час життя атома у збудженому стані Dt, якщо відносна невизначеність маси фотонів (Dm/m), що відповідають спектральній лінії l = 0,35 мкм, завдяки невизначеності енергії та часу складає 0,3%.

Частинка в потенціальному ящику

16.  Електрон знаходиться в потенціальному ящику шириною 5 Ǻ. Знайти повну енергію електрону на трьох перших енергетичних рівнях.

17.  Частинка знаходиться в потенціальному ящику. Знайдіть вираз для відносної різниці енергій сусідніх енергетичних рівнів (). Проаналізуйте отриману функцію для n від 1 до ∞.

18.  Частинка знаходиться в потенціальному ящику. У скільки разів енергія третього (n = 3) стану більша енергії другого (n = 2) стану?

19.  Частинка знаходиться в потенціальному ящику. У скільки разів енергія другого (n = 2) стану більша енергії основного стану?

20.  Частинка знаходиться в потенціальному ящику. У скільки разів енергія збудження у третій (n = 3) енергетичний стан з основного стану більша енергії збудження у другий (n = 2) стан?

21.  Частинка знаходиться в потенціальному ящику. Знайти відношення енергії збудження у третій (n = 3) енергетичний стан з другого (n = 2) стану до енергії збудження у другий (n = 2) стан з основного стану ?

22.  Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в основному стані. В яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки максимальна.

23.  Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в основному стані. В яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки мінімальна.

24.  Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в найнижчему збудженому стані. В яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки максимальна.

25.  Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в найнижчему збудженому стані. В яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки мінімальна.

26.  Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в третьому (n = 3) енергетичному стані. В яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки максимальна.

27.  Частинка в потенціальному ящику шириною l знаходиться в третьому (n = 3) енергетичному стані. В яких точках ящика густина імовірності знаходження частинки мінімальна.

28.  Частинка знаходиться в потенціальному ящику. Знайдіть точки (0 < x < l) в яких густина імовірності знаходження частинки в основному і другому (n = 2) енергетичних станах однакова. Розв’язок пояснити графічно.