Линейные системы дифференциальных уравнений, страница 2

, (8.4)

где - произвольно постоянные, представляет собой общее решение СОЛДУ (8.1) в области

. (8.5)

Замечание. Все решения СОЛДУ содержатся в формуле (8.4).

2^°. Неоднородные системы. Чтобы найти общее решение СНЛДУ (7.2), достаточно знать общее решение (8.4) соответствующей СОЛДУ (8.1) и одно частное решение СНЛДУ (7.2):

. (8.6)

Теорема 3. Сумма решений (8.4) и (8.6) есть общее решение СНЛДУ (7.2) в области (8.5):

. (8.7)

Замечание. Все решения системы (7.2) содержатся в формуле (8.7).
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) позволяет найти общее решение СНЛДУ, зная лишь фундаментальную систему решения (8.2) СОЛДУ (8.1). По этому методу решение ищем в виде

, (8.8)

где - непрерывно дифференцируемые функции от x, подлежащие определению из системы

. (8.9)

Решая ее алгебраически , находим , откуда квадратурами определяем . Подставляя эти значения в (8.8), получаем общее решение системы (7.2).

10.8.2. Линейные системы с постоянными коэффициентами

Линейная система (7.2), у которой все коэффициенты всегда интегрируется в квадратурах, ибо соответствующая СОЛДУ (8.1) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. ФСР СОЛДУ строится по методу Эйлера: решение системы (8.1) ищем в виде

, (8.10)
где и - подлежащие определению величины. Подставляя (8.10) в (8.1) и сокращая на , получаем систему

(8.11)

Чтобы система (8.11) имела решение, отличное от тривиального, необходимо и достаточно , чтобы было корнем уравнения

, (8.12)

называемого характеристическим уравнением. Каждому из корней (8.12) соответствует хотя бы одно частное решение вида (8.10). Здесь возможны три случая.
1) Все корни уравнения (8.12) различны и вещественны. Полагая в системе (8.11) , получим систему

(8.11¢)

Решая ее, найдем ненулевое решение . Подставляя и в (8.10), найдем решение СОЛДУ, соответствующие корню

. (8.10¢)

Построив решения, соответствующие всем корням , получим фундаментальную систему решений (ФСР)

. (8.2¢)

Общее решение системы запишется в виде

. (8.4¢)

2) Корни характеристического уравнения (8.12) различны, но среди них имеются комплексные. Если - корень (8.12), то тоже будет корнем. Построив решение вида (8.10¢), соответствующее корню и отделив в нем действительную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решений СОЛДУ (8.1). Построив частные решения, соответствующие всем парам комплексно сопряженных корней и всем вещественным (если они имеются), получим ФСР (8.2¢). Общее решение запишется по формуле (8.4).
3) Среди корней характеристического уравнения (8.12) имеются кратные. Корню кратности k соответствует решение вида

, (8.13)

где - многочлены от x степени не выше k-1 (они могут вырождаться в постоянные числа), причем среди коэффициентов всех этих многочленов k коэффициентов произвольны, а остальные выражаются через них. Полагая поочередно один их этих произвольных коэффициентов равным единице, а остальные равными нулю, построим k линейно независимых частных решений. Если вещественно, то эти частные решения тоже вещественны. Если - комплексный корень, , то тоже корень и притом той же кратности k. Определив указанным выше методом k линейно независимых комплексных частных решений, соответствующих корню , и отделив в них вещественные и мнимые части, получим k линейно независимых вещественных частных решений. Напомним, что решения, соответствующие корню линейно зависимы с решениями, соответствующими корню .

Пример 1. Проинтегрировать систему (1) по методу Эйлера.

Решение. Ищем частное решение системы (1) в виде (8.10): (2). Составляем характеристическое уравнение (8.12):

Оно имеет корни . Построим частное решение вида (2), соответствующее корню . Подставляя в систему (8.11¢), получим уравнение (другое есть следствие первого). В этом уравнении одна неизвестная – свободная неизвестная. Полагая , получим . Таким образом, корню соответствует частное решение . Аналогично находим частное решение, соответствующее корню . Общее решение системы (1): (3). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: , . Полагая в (3) , получим , , откуда и искомое частное решение: , . Других решений, удовлетворяющих этим начальным условиям, нет.