Замыкающее уравнение системы уравнений РГД, страница 2

Рассеивают кванты главным образом свободные электроны. Эффективное сечение рассеяния (Томсоновское сечение рассеяния) можно оценить по классическому радиусу электрона  и . Ему соответствует  см ^–1  (для полностью ионизированной плазмы), и только для сильноразреженной, полностью ионизированной плазмы становится сравнимым с k_v^тор. Это имеет место в звездных коронах, в земных условиях рассеянием света практически всегда можно пренебречь по сравнению с поглощением в газе.

Теперь рассмотрим баланс между поглощением и испусканием света в газе. Количество поглощаемой лучистой энергии есть

                                                                                                 (13.3).

Количество энергии самопроизвольно (спонтанно) испускаемой веществом есть

                                                                                                  (13.4),

где j_v^cn определяется только свойствами вещества и его состоянием. Однако в газах помимо спонтанного испускания существует вынужденное (или индуцированное) лучеиспускание. Присутствующие кванты как бы способствуют переходам между возмущенным электронным состояниям в атомах, сопровождающимися испусканием таких же самых квантов. Эта ситуация может быть качественно объяснена в рамках волнового представления излучения: спонтанно излучающие атомы могут быть представлены как системы осцилляторов, находящихся во внешнем поле электромагнитной волны. В этом случае возможно резонансное возбуждение осциллятора с последующим излучением электромагнитной волны того же направления и частоты. В квантовой механике получено, что полная энергия, испускаемая единицей объема вещества в единицу времени в телесном угле  есть

                                                                                   (13.5).

В состоянии термодинамического равновесия, которое выполняется тем точнее, чем выше плотность газа (по крайней мере, когда можно говорить о наличии ЛТР), для равновесного излучения с I_vp должно выполняться балансовое соотношение известное под именем закона Кирхгофа для газов:

                                                                    (13.6),

где  определяется свойствами излучающего газа. Подставляя в (13.6) значение =  получим

                                                                      (13.7),

где

                                                                                        (13.8)

и закон Кирхгофа для газов (13.7) можно переписать в уже привычном виде

                                                                                                   (13.9).

Отсюда видно, что вынужденное испускание можно трактовать как некое уменьшение поглощения: часть квантов как бы поглощается и тут же испускается снова с той же частотой и в том же направлении, причем с некоторой вероятностью, которая согласно (13.8) есть .

Итак, правую часть уравнения переноса (13.2) без членов рассеяния в приближении ЛТР используя (13.5), (13.7), (13.8) и выражение для  можно переписать: , откуда с учетом (13.9) она примет вид , а само уравнение есть:

 =                                                               (13.10).

Получим формальное решение уравнения (13.10), рассматривая I_vp(T) и (р,Т) как известные функции координат и времени. Вначале для простоты рассмотрим стационарные уравнения и найдем решения для излучения вдоль луча в направлении .

Вдоль луча s левая часть уравнения (13.10) в стационарном случае согласно (13.1) есть:  и

                                                                             (13.11).

Его решение:

                     (13.12).

I_v0 – константа интегрирования есть значение I_v на границе s₀ (входящее излучение). Интенсивность излучения в точке s определяется всеми квантами, рожденными на длине луча s₀ – s и движущиеся в направлении  с учетом их поглощения на этом пути. От точки х до s дойдет только доля  этого излучения, остальное поглотится на этом пути.

В стационарном случае в точку s к моменту t будут приходить кванты, рожденные в более ранние моменты времени . Из решения (13.12) видно, что вклад далеких от s источников экспоненциально падает с возрастанием расстояния, а свет от этих источников проходит за время . Это время для наиболее больших l_v, связанных с тормозным излучением, составляет с. и намного меньше характерного времени, на котором происходит заметное изменение состояния вещества (температуры, давления и т.д.). Возьмем за характерный газодинамический масштаб тоже расстояние см, тогда изменение состояния, за счет газодинамических процессов, произойдет за время , где а – скорость звука (, для воздуха при  степень ионизации  и ). Отсюда следует, что при решении задач РГД можно использовать стационарное уравнение переноса излучения, куда время входит как параметр, от которого зависят термодинамические свойства вещества, а, следовательно,  и (Т, р) и уравнение переноса имеет вид

                                                                          (13.13).