Дослідження на керованість, спостережуваність та асимптотичну стійкість дискретних моделей з простором станів (Лабораторна робота № 5), страница 2

           C(k₀+k₁)Ф(k₀+k₁, k₀)x* = y(k₀+k₁).

Множина тих x, що задовольняють систему рівнянь (5.13), являє собою площину відповідної розмірності в Rⁿ. Введемо позначення:

,                 .

Тоді (5.13) перепишеться у вигляді

                                                          W(k₀, k₁)x^* = Y(x⁰, k₀, k₁).                              (5.14)

Тепер дослідимо систему на спостережуваність.

Критерієм повної спостережуваності для стаціонарних систем має вигляд:

rg= n

Нехай спочатку u[k₀,k₁]=0. Для стану, що реалізувався, х¹=x(k₁) завжди існує стан x⁰ , такий, що Ф(k₁,k ₀)x⁰ =x¹. Якщо detФ(k₁, k₀) = 0, то існує єдиний x⁰, що дорівнює Ф^-1(k₁, k₀)x¹, що переходить на [k₁, k₀] у x¹, і задача оцінювання x¹ зводиться до оцінювання x⁰, тобто до задачі k₀ - спостереження і обчислення x¹ як х¹= Ф(k₁,k₀)x⁰. Умова detФ(k₁, k₀) ≠ 0 виконується тоді і тільки тоді, коли detА(k)≠0 при всіх k=k₀,..., k_1. Отже, у випадку detA(k)≠0 система (5.1), (5.2) повністю k₁ - досяжна  тоді і тільки тоді, коли вона повністю k₀-спостережувана, і критерієм цього є умова (5.15), а для стаціонарних систем - умова (5.20).

У випадку detA(k)≠0 з повної k₀-спостережуваності також випливає можливість оцінити стан x¹, оскільки при відомому x(k₀) однозначно знаходимо x¹ = Ф(k₁, k₀)x(k₀).

Зауважимо, що в задачах k₁-діагностики та k₀ – спостережуваності потрібно виявити стан в один і той самий момент k₁. Однак можливість розв'язання однієї з них необов'язково дає можливість розв'язати іншу. Разом з тим, для стаціонарних систем за умови detA≠0 ці задачі еквівалентні, і далі будемо в обох випадках говорити про них як про задачу спостереження.

Випадок u[k₀,k₁]≠0 аналізується аналогічно.

Перевіримо цю умову за допомогою пакета Maple:

> C:=<<0.203|0.875|0.125|0.281>>;

CA:=evalm(C&*A);

CA2:=evalm(C&*A2);

CA3:=evalm(C&*A3);GG:=stackmatrix(C,CA,CA2,CA3);

rank(GG);

Необхідна умова виконується, тому система є повністю спостестережуваною.

Дослідимо систему наасимптотичну стійкість. Рух кожного об'єкта описується системою n диференціальних рівнянь (5.21) першого порядку, записаних у нормальній формі:

       (5.42)

У системі (5.42) невідомими є функції часу  , у системах (5.43) і (5.44) —  і . Нехай функції  визначені  в  n - вимірній кулі радіуса  для  і задовольняють там деякі умови, що гарантують існування неперервно диференційованих   , що є розв’язком системи (5.42). Доповнимо систему (5.42) початковими умовами. При  існує набір чисел , узятих з n -вимірної кулі , що дозволяє єдиним способом одержати c₁, c₂, …, c_n . Функції  при цьому переходять у єдину систему часткових розв’язків системи (5.42):

Надалі доведеться змінювати початкові умови і відповідно часткові розв’язки. При цьому припускаємо, що ці зміни не виводять функції  і початкові умови з області визначення правої частини рівнянь (5.42). Дамо визначення стійкості розв’язку системи (5.42). Нехай відомий частковий розв’язок системи (5.42)  , що відповідає початковим умовам при  , . Змінимо початкові умови при  . Часткові розв’язки, що відповідають цим новим умовам, позначимо . Функції  описують так званий незбурений розв’язок, а  - збурений

Розв’язок  системи (5.42) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого заданого як завгодно малого додатного числа  можна визначити таке мале додатне число , що при(5.45), для всіх і  виконується нерівність , . (5.46). Якщо при виконанні умов (5.45), (5.46) виконані ще умови    (5.47),для усіх , то розв’язок називається асимптотично стійким

За теоремою Ляпунова: Для асимптотичної стійкості системи (2) необхідно і достатньо, щоб модулі всіх власних чисел матриці А були менше одиниці.

Перевіримо чи виконуються умови теореми.

> with(LinearAlgebra):

AA:=<<0|1|0|0>,<0|0|1|0>,<0|0|0|1>,<0.5|-0.5|-2|0.75>>; Xa:=CharacteristicPolynomial(AA,lambda);

Specter:= solve ({Xa});