Расчет характеристик КС на основе сетевых стохастических моделей

4 Расчет характеристик КС на основе сетевых стохастических моделей

4.1 Расчет сетевых стохастических моделей

Этапы расчета:

1.  построение стохастической сети и расчет ее параметров ;

2.  расчет интенсивностей потоков  и коэффициентов передач  для подсистем  сети;

3.  определение вероятностей состояний подсистем и системы в целом;

4.  расчет характеристик подсистем (, , , );

5.  расчет общесетевых характеристик (, , , ).

Для нахождения коэффициентов передач  необходимо рассчитать интенсивности потоков в подсистемах сети

,

где  - входной поток в -й подсистеме,  - входной поток сети;

При этом поток на входе -й подсистемы  образован суммой потоков от  связанных с ней подсистем:

, ()                                           (4.1)

Для разомкнутых стохастических сетей известна интенсивность источника заявок  и поэтому система (4.1) имеет единственное решение.

Для замкнутой сети ни одна из интенсивностей , …,  заранее неизвестна, определитель системы уравнений (4.1) равен нулю и система имеет бесконечное множество решений. Однако систему (4.1) можно решить подставив значение . В этом случае корни  , …,  численно определяют значения , …, .

4.2 Характеристики разомкнутых стохастических сетей

Загрузка систем в сети определяется в виде

,

где  - интенсивность входного потока заявок,  - длительность обслуживания заявок в системе ,  - общее число каналов в системе.

Выражение (4.2) определяет среднее число занятых каналов СМО.

.                                                       (4.2)

Выражение (4.3) характеризует вероятность того, что многоканальная СМО свободна от обслуживания заявок.

,                               (4.3)

где  - количество заявок, находящихся в системе

Характеристики систем в сети.

Среднее число заявок, ожидающих обслуживания в системе , т.е. средняя длина очереди

.                                   (4.4)

Среднее число заявок пребывающих в системе

.                                   (4.5)

Среднее время ожидания заявки в очереди

.                                      (4.6)

Среднее время пребывания заявок в системе

.                                    (4.7)

Характеристики сети.

Используя (4.4) – (4.7) определяются характеристики в целом.

Среднее число заявок, ожидающих обслуживания в сети,

.                                                        (4.8)

Среднее число заявок, пребывающих в сети,

.                                                     (4.9)

Среднее время ожидания заявки в сети

.                                                  (4.10)

Среднее время пребывания заявки в сети

.                                                             (4.11)

4.3 Характеристики замкнутых стохастических сетей

В замкнутой ССМ циркулирует постоянное ограниченное число заданий  и условие стационарности в этом случае будет выполняться всегда.

Различные распределения  заявок по системам сети определяют ее состояния. Состояние () означает, что в системе  пребывает  заявок (часть обслуживается и часть ожидает в очереди), в системе   пребывает  заявок и т.д. Множество таких состояний обозначается как , а мощность этого множества, т.е. число всевозможных состояний, - через . Число различных распределений  заявок по  системам конечно и равно числу сочетаний:

.                             (4.12)

Вероятности состояний замкнутой сети определяются следующим образом:

,                     (4.13)

где ;  - символ суммирования по всем состояниям множества .

Загрузка систем замкнутой сети.

Для одноканальных СМО загрузка определяется как

.                     (4.14)

Загрузка каждого из каналов многоканальной системы  определяется как

,                     (4.15)

где  - вероятность того, что в системе  находится точно  заявок, а заявки среди других систем распределяются любыми возможными сочетаниями, суммирование ведется по всем состояниям множества , для которых число заявок в системе  равно .

Характеристики систем в сети.

Интенсивность потока, входящего в систему

.                                                           (4.16)

Среднее число заявок, ожидающих обслуживания в системе , т.е. средняя длина очереди

.                                    (4.17)

Среднее число заявок пребывающих в системе

.                                              (4.18)

Для проверки значений , вычисленных с помощью (4.18), можно воспользоваться равенством .

Среднее время ожидания заявки в очереди

.                                                         (4.19)

Среднее время пребывания заявок в системе

.                                                                   (4.20)