Теорема Дедекинда-Биркгофа. Рисование диаграммы Хассе решетки делителей числа 66, страница 2

Задание №3.

Обозначим N = <N, *>  -универсальную алгебру натуральных чисел с операцией произведения. Рассмотрим элементы 1296 и 432 этой алгебры и обозначим через B подалгебру порожденную этими двумя элементами.

Будет ли число 60466176 принадлежать этой подалгебре?

Решение.

Пусть A=<А; s> некоторая универсальная алгебра сигнатуры s=<f₀^s0,…, f_r^sr, c₀,…, c_k>. Алгебра B=<B; s> является подалгеброй алгебры A=<А; s>, если выполнены следующие условия:

1. BÍA;
2. c₀^B= c₀^A, …, c_k^B= c_k^A и, тем самым, для любого i £ k c_i^AÎB;
3. для любого j £ r и любых b₁,…,b_sjÎB    f_j^B(b₁,…,b_sj)= f_j^A(b₁,…,b_sj) и, тем самым, f_j^A(b₁,…,b_sj)ÎB.

Так как 60466176=1296*432*108, следовательно, число 60466176 нельзя представить в виде конечного количества применений операции умножения к числам 1296 и 432. Следовательно, число 60466176 не принадлежит подалгебре алгебры N = <N, *>, порожденной элементами 1296 и 432.

Задание №4

Рассмотрим группу вычетов Z₁₅₄  аддитивной группы целых чисел Z по модулю числа 154. Определите решетку конгруэнций этой группы.

Является ли такая универсальная алгебра простой?

Решение.

Отношение эквивалентности q на основном множестве А алгебры A=<А; s> назовем конгруэнцией алгебры A, если оно обладает свойством: для любой f_i^siÎs, для любых e₁,…, e_si, d₁,…, d_siÎA отношения q(e₁, d₁),…, q(e_si, d_si) влекут отношение

q(f_i(e₁,…, e_si), f_i(d₁,…, d_si)).

Совокупность всех конгруэнций алгебры A обозначим как ConA.

Для любой совокупности Á={q_i | iÎI} конгруэнций на алгебре A, отношение ÇÁ определенное как:

Для a, bÎA     ÇÁ(a, b) Û для любого iÎI    q_i(a, b),

Так же является конгруэнцией на A и ÇÁ=infÁ в частично упорядоченном множестве <ConA; £ >.

В силу этого, если для любых q₁, q₂ ÎConA отношение q₁Úq₂ определим как

q₁Úq₂=ÇÁ,

где Á={qÎConA | q₁£q и q₂£q}, то нетрудно заметить, что q₁Úq₂=sup(q₁,q₂) в частично упорядоченном множестве конгруэнций на алгебре A. Тем самым, <ConA ; Ù, Ú> является решеткой – решеткой конгруэнций алгебры A, обозначаемой далее как ConA.

Теорема. Решетка конгруэнций аддитивной группы вычетов целых чисел по модулю  n изоморфна решетке натуральных делителей числа n.

Диаграмма Хассе, определяющая решетку натуральных делителей числа 154:

1

14

2

7

77

11

22

154

Данная решетка изоморфна решетке конгруэнций группы вычетов Z₁₅₄  аддитивной группы целых чисел Z по модулю числа 154. Следовательно, заданная решетка конгруэнций имеет вид:

  Теорема:  Группа вычетов целых чисел по модулю натурального числа n является простой алгеброй  тогда и только тогда, когда n простое.

  Число 154 простым не является, следовательно, такая универсальная  алгебра не является простой.

Задание №5

Является ли универсальная алгебра Z₁₅₄ из предыдущей задачи прямо разложимой?

Решение:

Группа A=<A; *, ^-1, e> называется абелевой (или коммутативной) если для любых a и b из A имеет место равенство a*b=b*a.

В данном случае мы имеем абелеву группу.

Абелева группа G представляется нетривиальным прямым произведением, тогда и только тогда, когда в ней найдутся 2 подгруппы N₁ ÍG Ê N₂  для которых выполняются свойства:

 N_{1 Ç}  N₂  = 0

 N₁  + N₂ = G

Если  N₁   и    N₂   подгруппы G , то N₁  Ù N₂ =N_{1 Ç}  N₂  также полагаем  N₁  Ú N₂  =  N₁  + N₂ 

       

Возьмем в качестве N₁ группу вычетов целых чисел Z₇₇ по модулю числа 77, а в качестве N₂ группу вычетов целых чисел Z₂ по модулю числа 2.

Их объединение будет давать группу вычетов целых чисел Z₁₅₄ по модулю числа 154, а их пересечение будет давать единицу – нулевой элемент в  группе вычетов целых чисел Z₁₅₄ по модулю числа 154.

Следовательно, группа вычетов целых чисел Z₁₅₄ по модулю числа 154 является прямо разложимой.

Задание 6.

Образует ли многообразие следующая совокупность: бесконечных графов как класс универсальных алгебр.

Решение:   Класс универсальных алгебр сигнатуры S называется многообразием если:

1.  любая подалгебра алгебр из С принадлежит этому классу.

2.  любой гомеоморфный образ алгебры из класса С – алгебра класса  С

  3.   если А _I   алгебра класса С, то ПА _I   - алгебра класса С.

 Можно было бы проверить все три условия, но так как нам дана совокупность бесконечных графов, то можно сделать вывод о том, что эта совокупность не является многообразием, не делая этих проверок.

  Так как бесконечный граф – это граф со счетным количеством вершин, то выделим в этом графе конечный подграф, так как по структуре своей он является графом, следовательно, он будет обладать всеми свойствами, которыми обладает исходный граф. Но множество его вершин будет конечным, а не счетным. Следовательно, бесконечный граф не образует многообразия.

                                                   Пример конечного подграфа

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО
Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра прикладной математики

Расчетно-графическое задание

По общей алгебре

Факультет: ПМИ

Группа: ПМ-52

Студентка:  Петишева Е.О.

Преподаватель: Пономарев К.Н.

Вариант: 16

Новосибирск 2007г.