Изучение распределения магнитного поля вдоль оси соленоида с помощью датчика Холла (Лабораторная работа № 4)

                            ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИЗУЧЕНИЕ РАСПРИДЕЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВДОЛЬ ОСИ СОЛИНОИДА С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКА ХОЛЛА.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: закрепить знание студентов о магнитном поле             

соленоида и измерить магнитную индукцию вдоль оси соленоида, практически использовать эффект Холла.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

          Соленоидом называется длинная катушка с большим числом витков в обмотке. На Рис.4.1. показана катушка в разрезе плоскости чертежа. Ток в верхних сечениях витков катушки направлен к читателю, а в нижних-ток направлен от читателя.

Рис.4.1.

         Магнитная стрелка, помещённая внутри катушки, показывает своим северным полюсом направление магнитного поля внутри катушки. Полярность магнитного поля по правилу правой руки: если ладонь правой руки наложить на витки катушки так, чтобы вытянутые четыре пальца указывали направление тока в витках катушки, то поставленый большой палец укажет северный магнитный полюс катушки. В центре соленоида магнитные поля складываются и возникает почти однородное поле.

        Соленоид, витки которого расположены вплотную друг к другу, эквивалентен системе круговых токов, одинаковых по радиусу  и имеющих общую ось. На основании закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции индукция магнитного поля на оси кругового тока   i        радиуса   r        равна:

;         (4.1)

       где m - расстояние  от центра кругового тока до точки, в которой определяется индукция.

         Для  нахождения индукции магнитного поля всего соленоида на такие элементы, каждый из которых можно считать линейным витком, а затем применить принцип суперпозиций. Такой элемент толщины           показан на Рис.4.2.а  и содержит                     витков. Сила тока в нём:                         

;        (4.2)

          В соответствии с формулами (4.1) и(4.2) индукция магнитного поля, созданного таким элементом, равна:

;           (4.3)

           Поскольку все элементарные векторы    dB  коллинеарны, индукция результирующего поля находится интегрированием выражения (4.3) по всей длине соленоида. Магнитная индукция зависит от диаметра соленоида  D=2r   , его длины  L  и расстояния  . Как будет показано ниже, в центре соленоида магнитная индукция для бесконечно длинного соленоида определяется по приближённой формуле:

;                     (4.4)

     где - магнитная проницаемость вакуума,- относительная магнитная проницаемость (для неферромагнитных материалов: воздух, дерево, медь, алюминий ), I- ток соленоида,  N  - количество витков соленоида, L - длина соленоида.

           Найдём индукцию магнитного поля соленоида в точке С , лежащей на оси соленоида на расстоянии     от его середины.

           Для проведения расчёта введём координатную ось ОХ. Начало координат поместим в середину соленоида (Рис.4.2.а.), тогда - координата точки С . Произвольный элементарный виток толщины    dx     с координатой    Х   находится от точки    С   на расстоянии        .                       .

           Подставим это выражение в (4.3.):

;             (4.5)

Рис.4.2.а

           При суммировании индукции полей, созданных всеми элементами, координата   Х   изменится от :   -    до   +.

           Для упрощения интегрирования введём в качестве переменной интегрирования угол , умножив предварительно числитель и знаменатель выражения (4.5) на  r . При подстановке учтём, что     

Тогда выражение (4.5) примет вид:

;

Поскольку на рисунке векторы dB , а значит вектор B направлен по оси ОХ, введём окончательно в качестве переменной интегрирования угол    , тогда    , причём изменяется для точки   С   от    до   (Рис. 4.2.б.)

Рис.4.2.б

    Окончательно:;                                                                  

;        (4.6)

Как видно:

;  ;

В середине соленоида    ,   и выражение (4.6.)

;                     (4.7)

           Если длина соленоида значительно превышает его диаметр  (D<<L), то из формулы (4.7) следует приближённое выражение (4.4.) для магнитной индукции на оси бесконечно длинного соленоида.

           При использовании формулы (4.4) относительная погрешность:           

;

Разложив в степенной ряд по переменной  и отбрасывая члены, содержащие  в степени больше двух, получим:

;                     (4.8)

Задаваясь относительной погрешностью измерения магнитной индукции , можно найти соотношение между длинной и диаметром соленоида.

;        (4.9)

Принимая поле внутри катушки однородным или магнитные паралельными её оси, находим магнитный поток  внутри катушки:

;

где Н-напряжённость поля,.

Итак, используя формулы (4.4),(4.6),(4.7),можно определить магнитную индукцию поля вдоль оси соленоида расчётным путём. В данной работе для определения магнитной индукции поля вдоль оси соленоида опытным путём используется датчик Холла, основанный на эффекте Холла.

           Эффектом Холла называется явление возникновения Э.Д.С. на боковых гранях пластинки с током, помещённой в магнитное поле.

           Эффект Холла объясняется действием силы Лоренца на движущиеся в пластине заряды. Величина этой силы определяется формулой: