Динамический хаос и фракталы (Лабораторная работа № 9)

Лабораторная  работа 9

Динамический  хаос и фракталы

1.  Сценарий  перехода  в  хаос  (Эта  часть  работы  выполняется  в Excel).

          Логистическое  уравнение  имеет следующий вид:

.

            Это  уравнение  представляет собой  одномерную нелинейную систему   с  обратной  связью.  Такое уравнение  может  быть исследовано  в  электронной  таблице  Excel,  для  чего необходимо  выполнить  следующие шаги:

1.  В  ячейку  А1  поместить  начальное значение  постоянной  А  между  0  и  4.  Начать  со  значения  А = 2.

2.  В ячейку  В1  поместить  начальное  значение   х = 0,1.

3.  В  ячейке  В2  поместить формулу:  =А1*В1*(1 – В1).

4.  Скопировать  ячейку  В2  вниз,  по  крайней мере,  на  100  ячеек.  Пример  выполнения  показан  ниже (только на  20  точек). 

5.  Построить график  по данным  колонки В.  Пример  на  рис.1.

Рис.1

6.  Положить  значение  А = 3.  Повторить  пп.2 -5.

7.  Положить  значение  А = 3,48.  Повторить  пп.2 -5.

8.  Положить  значение  А = 3,6.  Повторить  пп.2 -5.

9.  Построить  бифуркационную  диаграмму  (по  оси  абсцисс -значения  А;  по  шкале  ординат  -  значения  х).

2.  Отображение Хенона  описывается  следующей системой  уравнений:

.

            Построить аттрактор  Хенона  следующим образом:

1.В  ячейки  А1  и  В1  поместить  начальные  величины  х  и  у,  выбранные  в  диапазоне  от  0  до  1.

2. В  ячейку  А2  поместить выражение:  = 1 + В1 – 1,4 * А1²  .

3.  В  ячейку  В2  поместить выражение:  = 0,3*А1.

4.  Скопировать  А1  и  В2  вниз на  100  строк  или  более  (чем  больше,  тем лучше).

5.  Построить  диаграмму  (аттрактор  Хенона),  используя  значения  столбца А  как абсциссу,  а  значения  столбца  В  -  как  ординату.

3.  Расчет  показателя  Херста  с помощью программы  Fractan 

1.  Открыть  файл  "Ценные  бумаги  Марков". Этот  файл  содержит  данные  по  ценам акций  различных  российских  предприятий. Выбрать  какие-либо  акции  (на  протяжении  примерно  1400  торговых  дней,  цену открытия или  другую цену),  скопировать  этот временной  ряд.

2.  Открыть  блокнот  и  вставить  в  него   полученный  временной  ряд.

3.  Заменить  в  этих  данных  запятую  (,)  на  точку  (.).

4.  Сохранить  ряд  с расширением  .dat.

5.  Открыть программу   Fractan,  вставить  в него  анализируемый ряд,  рассчитать   показатель  Херста .  Оценить  значение  показателя.

6.  В этом  же  пакете  произвести  расчет  показателя  Херста  для  различных  временных  рядов,  имеющихся  в  пакете.

          4.  Построение  странного  аттрактора  Лоренца

1.  Открыть  Matlab.

2.  Запустить Simulink,  выполнив  в  командной строке  команду  simulink.

3.  Выполнив  File / Open /  toolbox /  simulink/  simdemos /lorenzs.mdl  приходим  к окну  запуска  системы  Лоренца  (рис.2).

Рис.2

4.  Запустив  через  Simulation,  получаем  аттрактор  Лоренца  (рис.3).

Рис.3.