Математика \ Математический анализ

Ответы на контрольные задания по теме: "Криволинейные интегралы на плоскости", страница 2

Эквивалентный способ задания ориентации плоскости -- выбор формы площади (в данном случае -- не обращающейся нигде в ноль 2-формы). Именно, 2-форма площади $ \omega$задает ту же ориентацию, что и базис $ (\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2})$, если $ \omega (\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2})>0$.

Стандартной формой площади, отвечающей стандартному базису $ (\mathbf{i},\mathbf{j})$в $ \mathbb{R}^{2}$, является форма $ \Omega=dx\wedge dy$, вычисляющая определитель пары векторов в стандартном базисе.

Произвольная 2-форма $ \omega$пропорциональна форме $ \Omega$:

$\displaystyle \omega=f (x,y)\Omega\,.$

По определению,

$\displaystyle \iint\limits_{D}\omega= \iint\limits_{D}f (x,y)\,dxdy\,,$

где $ D$-- некоторая стандартно ориентированная жорданова область.

Как следует из определения, интеграл от формы зависит от ориентации. Изменение ориентации эквивалентно замене $ \Omega$на $ -\Omega$, т.е. при смене ориентации интеграл от формы изменит знак.

Ответ: 16

Пусть $ \omega$-- 2-форма, определенная на области $ D$с координатами $ (x,y)$(чем фиксирована ориентация области). Она имеет вид

$\displaystyle \omega=f (x,y)\,dx\wedge dy\,.$


Пусть, далее, отображение $ \theta$определяет замену переменных на области $ D$, сохраняющую ориентацию

$\displaystyle (x,y)=\theta (u,v)\,,\qquad \det\theta'=\frac{D (x,y)}{D (u,v)} >0\,,\qquad (u,v)\in B\,.$


Замена переменных в форме $ \omega$с учетом равенств

$\displaystyle \theta^{*}f=f\circ\theta\,,\qquad \theta^{*}dx= \frac{\partial x}... ...{*}dy= \frac{\partial y} {\partial u}\,du+\frac{\partial y}{ \partial v}\,dv\,,$


приводит к форме

$\displaystyle \theta^{*}\omega\overset{\text{Опр.}}= \theta^{*}f\cdot\theta^{*}dx\wedge \theta^{*}dy= f (\theta (u,v)) \frac{D (x,y)}{D (u,v)} \,du\wedge dv\,.$


Таким образом, формула замены переменных в двойном интеграле на языке форм примет вид

$\displaystyle \iint\limits_{\theta (B)}\omega= \iint\limits_{B}\theta^{*}\omega\,.$

Иначе говоря, чтобы выполнить замену переменных в двойном интеграле, можно записать его как интеграл от 2-формы и выполнить замену переменных в 2-форме, упрощая результат в соответствии со свойствами внешнего произведения.

Ответ: 18

Пусть $ D$-- ориентированная связная область на плоскости с кусочно гладкой границей $ \partial D$, ориентированной согласованно. Последнее означает, что если базис $ (\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2})$, определяющий ориентацию области, посадить в гладкую точку границы и сделать первый вектор базиса вектором внешней нормали к границе, а второй вектор -- касательным к границе, то этот касательный вектор и задаст ориентацию данного куска границы (граница области $ D$может состоять из конечного числа кусков, каждый из которых является простой замкнутой кривой). Это согласование приводит к следующему правилу: обходить границу области надо в таком направлении, чтобы область все время лежала слева.

Если теперь $ \omega$-- 1-форма, определенная на области $ D$, то по формуле Грина

$\displaystyle \iint\limits_{D}d\omega= \int\limits_{\partial D}\omega\,.$

В координатном виде формула Грина примет вид (читая справа налево)

$\displaystyle \int\limits_{\partial D}P\,dx+Q\,dy= \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{ \partial y} \right)dx\wedge dy\,.$

Ответ: 19

Пусть $ D$-- ориентированная связная область на плоскости с кусочно гладкой границей $ \partial D$, ориентированной согласованно. Последнее означает, что если базис $ (\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2})$, определяющий ориентацию области, посадить в гладкую точку границы и сделать первый вектор базиса вектором внешней нормали к границе, а второй вектор -- касательным к границе, то этот касательный вектор и задаст ориентацию данного куска границы (граница области $ D$может состоять из конечного числа кусков, каждый из которых является простой замкнутой кривой). Это согласование приводит к следующему правилу: обходить границу области надо в таком направлении, чтобы область все время лежала слева.

Если теперь $ \omega$-- 1-форма, определенная на области $ D$, то по формуле Грина

$\displaystyle \iint\limits_{D}d\omega= \int\limits_{\partial D}\omega\,.$


В координатном виде формула Грина примет вид (читая справа налево)

$\displaystyle \int\limits_{\partial D}P\,dx+Q\,dy= \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{ \partial y} \right)dx\wedge dy\,.$

Ответ:20

Формула Грина связывает интеграл по области от дифференциала 1-формы с интегралом по границе от самой 1-формы

$\displaystyle \int\limits_{\partial D}P\,dx+Q\,dy= \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x}- \frac{\partial P}{ \partial y} \right)dx\wedge dy\,,$


при этом, область и ее граница должны быть ориентированы согласованно, что означает, что при обходе границы область должна лежать слева. Введем единичный касательный вектор к границе $ \tau= (\cos\alpha,\sin\alpha)$, где угол $ \alpha$образован направлением вектора $ \tau$и осью абсцисс. Запишем криволинейный интеграл 2 рода слева через криволинейный интеграл 1 рода и интеграл от 2-формы справа через двойной интеграл, получим

$\displaystyle \int\limits_{\partial D} (P\cos\alpha+Q\sin\alpha)\,dl= \iint\lim... ...( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{ \partial y} \right)dxdy\,,$


Заметим, далее, что вектор $ \mathbf{n}= (\sin\alpha,-\cos\alpha)$является вектором внешней нормали к границе $ \partial D$. Введем векторное поле $ \mathbf{F}= (Q,-P)$. Тогда формула Грина перепишется в виде

$\displaystyle \int\limits_{\partial D} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dl =\iint\limits_{D} \mathrm{div\,} \mathbf{F}\,dxdy\,.$


Это и есть требуемое равенство, поскольку обе его части уже не зависят от ориентации.

Ответ: 21

Под независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования понимают равенство

$\displaystyle \int\limits_{\Gamma_{1}}\omega= \int\limits_{\Gamma_{2}}\omega\,,$


где $ \omega$-- 1-форма, а $ \Gamma_{1},\Gamma_{2}$-- две произвольные кривые в области определения формы $ \omega$, имеющие одно и то же начало и один и тот же конец. Иначе говоря, интеграл от 1-формы $ \omega$не зависит от пути интегрирования, если интеграл по любому замкнутому контуру от этой формы равен нулю.

Если фиксировать начальную точку кривой и менять ее конечную точку, то в условиях независимости интеграла от пути получим функцию

$\displaystyle f (x,y)= \int\limits_{(x_{0},y_{0})}^{(x,y)}\omega\,,$


которая является потенциалом формы $ \omega$: $ \omega=df$. Иначе говоря, интеграл от формы $ \omega$не зависит от пути тогда и только тогда, когда форма точна.

Для точности 1-формы необходимо, чтобы она была замкнута $ d\omega=0$. В координатном виде, форма $ \omega=P\,dx+Q\,dy$замкнута, если

$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial Q}{\partial x}\,.$


Это условие будет достаточным для точности формы $ \omega$, если область стягивается в точку (односвязна).

Скачать файл