Цифровая фильтрация радиосигналов

Лекция 5. Цифровая фильтрация радиосигналов

Синтез цифровых фильтров

Синтез цифрового фильтра = выбор структуры фильтра + расчет весовых коэффициентов

Структуры цифровых фильтров:

- каноническая,

- транспонированная,

- последовательная форма,

- параллельная форма

Классификация методов синтеза цифровых фильтров:

- по типу получаемого фильтра - методы синтеза рекурсивных фильтров, методы синтеза нерекурсивных фильтров, и.т.д.,

- по наличию аналогового прототипа - с использованием аналогового прототипа, прямые методы синтеза без использования прототипа.

Виды аналоговых прототипов:

- фильтр Баттерворта,

- фильтр Чебышева 1 и 2 рода,

- эллиптический фильтр (Золотарева-Кауэра),

- фильтр Бесселя (Томпсона).

Критерии синтеза цифровых фильтров:

- равномерность АЧХ в полосе пропускания,

- линейность фазочастотной характеристики (ФЧХ) – КИХ-фильтры,

- подавление в полосе подавления

Источники ошибок при реализации цифровых фильтров:

- конечное число разрядов входных и выходных дискретных последовательно­стей,

- квантованием значений коэффициентов алго­ритмов фильтрации,

- конечной разрядностью регистров сдвига последова­тельностей.

Шумы в цифровых фильтрах

Ошибка квантования коэффициентов

Ошибка округления

- округление данных

        - усечение данных

Квантование результатов – для сигнала большого уровня отражается шумом квантования

Для сигналов малого уровня – могут возникать предельные циклы

Арифметические операции с фиксированной точкой

        - переполнение разрядной сетки

        - предельный цикл переполнения сумматора

Ошибки квантования в цифровых фильтрах с фиксированной точкой

{0.0011}×{0.1001}={0.00011011} – результат перемножения двоичных чисел

Длина буфера = двойной длине слова

Длина буфера = одной длине слова

Размер слова =  бит справа от децимальной точки

 - шаг квантования

 - точное значение числа

 - округленное значение = ближайшее значение к неквантованному,

                - ошибка округления ,          

 - усеченное значение = отбрасывание младших разрядов,

                - ошибка усечения ,                  

 - усеченное по величине значение = изменяет ближайшее квантованное значение, имеющее величину, меньшую или равную точному значению

- ошибка усечения ,           

Ошибка квантования = случайная величина с равномерным распределением

Случайная ошибка округления: ,  

Случайная ошибка усечения:

;        

Случайная ошибка усечения по величине:

;               

Ошибки квантования в системе с плавающей точкой

Представление числа с плавающей точкой: ,

- знаковый бит,

 – нормированная мантисса ,

 – показатель.

Округление чисел:

- относительная ошибка : .

- результат квантования чисел с плавающей точкой  

1) квантованная   бит мантисса:                     .

2) мантисса нормализована :        .

Если:

 равномерно распределена на интервале

 равномерно распределена на

;  .

На практике распределение мантиссы может отличаться от равномерного:

- измерения шума округления дают результат  

- результат теоретического и экспериментального анализа

.

Шум округления в цифровых фильтрах

Допущения при анализе:

- ошибки округления являются некоррелированными, стационарными случайными процессами,

- произведение 2-х ошибок квантования пренебрежимо мало, например 2^-15=2^-15=2^-30≈0

На вход цифрового фильтра подается некоррелированная последовательность , ,  

Отклик цифрового фильтра: ,

 - импульсная характеристика цифрового фильтра

Вероятностные характеристики выходного сигнала:

Шум округления в КИХ-фильтрах с фиксированной и плавающей точкой

Отклик цифрового КИХ-фильтра:        ,

 - порядок фильтра.

Операции с фиксированной точкой: округление только результатов умножения приводит к появлению выходного шума с дисперсией:

Операции с фиксированной точкой: использование для результатов умножения регистра двойной разрядности приводит к появлению выходного шума с дисперсией:

Расчет шума округления с плавающей точкой.

        Пусть порядок фильтра =4.

Процесс на выходе фильтра: ,

-  неискаженная составляющая сигнала

 -  погрешность округления

 -  нормированные ошибки при умножении

 - нормированные ошибки при суммировании

Выделим значение шума округления в плавающей точкой:

Дисперсия шума округления с плавающей точкой:

.

Для произвольного порядка фильтра:

.

Шум округления в БИХ-фильтрах с фиксированной точкой

Импульсная характеристика БИХ фильтра 1-го порядка:

                      

Сигнал на выходе фильтра:

Сигнал на выходе фильтра с учетом шума округления:

,

 - шум округления

Дисперсия выходного шума округления для операций  с фиксированной точкой:

Переполнение разрядной сетки сумматора

Передаточная функция БИХ фильтра 1-го порядка:

Максимальный коэффициент передачи фильтра равен:     

Условие отсутствия переполнения

Поэтому входной сигнал представим в виде шума, распределенного на интервале

Дисперсия входного шумового сигнала  

Дисперсия выходного шумового сигнала

Отношение шум-сигнал на выходе фильтра с фиксированной точкой:

Следует отметить, что отношение шум-сигнал стремится к бесконечности при уменьшении полосы пропускания фильтра:  .

Шум округления в БИХ-фильтрах с плавающей точкой

Сигнал на выходе БИХ фильтра с плавающей точкой с учетом шума округления:

 - ошибка умножения

 - ошибка сложения

Ошибка округления:

Дисперсия ошибки округления:

,

.

Дисперсия шумов округления для БИХ фильтра 1-го порядка:

Отношение шум-сигнал на выходе БИХ фильтра 1-го порядка:

Отношение шум-сигнал на выходе БИХ фильтра 2-го порядка

Предельные циклы в цифровых фильтрах

        Разностное уравнение для рекурсивного фильтра 1-го порядка:

Полюс передаточной функции 0,95, находится внутри единичной окружности, что говорит об устойчивости фильтра.

Пусть входной сигнал отсутствует, а внутреннее состояние фильтра представляется единственным числом =13.

При точных вычислениях сигнал на выходе фильтра экспоненциально затухает:

у(1)=12,35;   у(2)=11,733;  y(3)=11,1459;  y(4)=10,588581; y(5)=10,059152; ….

В случае целочисленного представления данных в нутрии фильтра:

; ; ; ;

При этом выходной сигнал остается постоянным  при  → предельный цикл с периодом 1.

→ получим предельный цикл с периодом, равным двум, в виде чередования значений 10 и -10.

Различают две разновидности предельных циклов:

- «зернистые» (granular) предельные циклы возникают, когда значения внутреннего состояния фильтра при отсутствии входного сигнала затухают, но из-за ошибок округления не доходят до нуля, как в рассмотренном примере,

- «переполняющие» (overflow) предельные циклы имеют место в том случае, когда из-за вычислительных погрешностей значения внутреннего состояния фильтра при отсутствии входного сигнала не затухают, а возрастают, вызывая переполнение.