Решение нелинейных алгебраических уравнений. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)

Кафедра прикладной математики

Лабораторная работа № 1

Решение нелинейных алгебраических уравнений.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Вариант 4

Выполнила: студентка 321гр.

Волкова М. О.

Проверила: Федорченко И. А.

Новосибирск 2010

Часть № 1 : Решение нелинейных алгебраических уравнений

Постановка задачи

Задано нелинейное алгебраическое уравнение.  Решением уравнения является значение х^*, такое, что. Решить уравнение приближенным (итерационным) методом – значит построить последовательность {x_n} (n – номер итерации, т.е. приближения к решению), сходящуюся к точному решению уравнения: . Итерационный метод задается рекуррентной формулой, позволяющей определить последующее приближение по известным предыдущим. Итерационный процесс заканчивается, когда  , где ε – точность метода, некоторое наперед заданное число. Перед тем, как начать решение уравнения итерационным методом, необходимо исследовать уравнение на наличие корней и для каждого из корней найти свой интервал изоляции [a,b], содержащего единственный корень уравнения. Условием того, что на отрезке [a,b] существует хотя бы один корень уравнения, является f(a)f(b)<0.

Задание

Дано: 

Требуется:

-  исследовать уравнение табличным и графическим способом, найти интервалы изоляции для всех корней;

-  для каждого интервала изоляции с заданной точностью  найти корни уравнения с использованием метода деления отрезка пополам, метода Ньютона и метода секущих;

-  для одного из корней проследить изменение количества итераций, необходимых для решения уравнения с точностью

-  сравнить все методы по количеству итераций.

Исследование уравнения

Табличный способ – это построение таблицы , состоящей из столбца аргумента х и столбца значений функции . О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно большим.

В интервале от -4 до 2 с шагом 0,2 вычислим значения функции  и результаты представим в виде таблицы:

х
-4	-6
-3,8	-4,8033
-3,6	-3,6912
-3,4	-2,66489
-3,2	-1,7257
-3	-0,875
-2,8	-0,11428
-2,6	0,554984
-2,4	1,131316
-2,2	1,613366
-2	2
-1,8	2,290446
-1,6	2,484485
-1,4	2,582701
-1,2	2,586796
-1	2,5
-0,8	2,327583
-0,6	2,077511
-0,4	1,761257
-0,2	1,394822
0	1
0,2	0,605948
0,4	0,251121
0,6	-0,01434
0,8	-0,1257
1	3,33E-13
1,2	0,468251
1,4	1,412471
1,6	3,000469
1,8	5,442335
2	9

Из таблицы видно, что смена знака функции происходит три раза на интервалах [-2,8; -2,6], [0,4; 0,6], [0,8; 1,2]. Эти интервалы можно выбрать в качестве интервалов изоляции корней.

Графический способ – построение графика функции и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью х.

Из графика следует, что интервалы изоляции корней могут быть выбраны следующим образом: [-2,8; -2,6], [0,4; 0,6], [0,8; 1,2].

Решение НАУ приближенными (итерационными) методами

Метод деления отрезка пополам (дихотомии)

Идея заключается в делении отрезка пополам, на котором содержится корень, по тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Поделим отрезок [a, b] пополам. Координата середины отрезка определится как . Теперь корень остался на одной из частей: [a, c] или [c, b]. Если , то это говорит о том, что функция на отрезке [a, c] меняет свой знак, т. е. на данном интервале находится корень. В этом случае деление отрезка можно повторить, приняв в качестве нового правого конца точку с, т. е. приняв в=с. В противном случае корень попал на половину [c, b], и необходимо изменить значение левого отрезка: а=с. Поскольку корень всегда заключен внутри отрезка, итерационный процесс можно остановить, если длина отрезка станет меньше заданной точности .

Метод Ньютона (касательных)

Метод Ньютона определяется формулой: . Суть метода состоит в замене нелинейной функции линейной, которую можно с легкостью решить.