Изучение основных свойств гироскопа, законов вращательного движения твёрдого тела

Министерство общего и профессионального образования РФ

Санкт – Петербургский государственный горный институт

имени Г.В. Плеханова (технический университет)

Кафедра

 общей и технической физики

ЛАБОРАТОРИЯ МЕХАНИКИ

РАБОТА 15

изучение прецессии гироскопа

САНКТ - ПЕТЕРБУРГ

2004

работа 15. изучение прецессии гироскопа

Цель работы – экспериментально исследовать основные свойства гироскопа, изучить законы вращательного движения твёрдого тела.

Общие сведения

Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Основное свойство гироскопа - способность сохранять неизменным направление оси вращения при отсутствии действующего на него момента внешних сил. Это свойство гироскопа основано на законе сохранения момента импульса. Гироскопы широко применяются в технике: в качестве указателей направления при движении судов, самолетов и т.д.

            Рассмотрим гироскоп, основным элементом которого является диск D, вращающийся со скоростью  вокруг горизонтальной оси ОО' (см. рисунок). Ось гироскопа шарнирно закреплена в точке C. Прибор снабжен противовесом К. Если противовес установлен так,  что точка C является центром масс системы (m - масса гироскопа;  m₀ - масса противовеса К;  масса стержня пренебрежимо мала), то без учёта трения запишем:

 ,

т.е. результирующий момент сил, действующий на систему, равен нулю. Тогда справедлив закон сохранения момента импульса :

.                                                          (1)

Иными словами, в этом случае  const;где J - момент инерции гироскопа, - собственная угловая скорость вращения гироскопа.

Поскольку момент инерции диска относительно его оси симметрии есть величина постоянная, то вектор угловой скорости также остается постоянным как по величине, так и по направлению. Вектор  направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Таким образом, ось свободного гироскопа сохраняет своё положение в пространстве неизменным.

Если к противовесу К добавить груз массой m₁, то центр масс системы сместится и возникнет вращающий момент  относительно точки C согласно уравнению моментов . Под действием этого вращающего момента вектор момента импульса получит приращение , совпадающее по направлению с вектором :

                               (2)

Векторы сил тяжести  и  направлены вертикально вниз. Следовательно, векторы , а по (2) и , лежат в горизонтальной плоскости. Спустя время  действующий на систему момент импульса  равен

.

            Таким образом,  вектор изменяет своё направление в пространстве, всё время оставаясь в горизонтальной плоскости. Учитывая, что вектор момента импульса гироскопа направлен вдоль оси вращения, поворот вектора  на некоторый угол  da  за время  dt означает поворот оси вращения на тот же угол. В результате ось симметрии гироскопа вращается вокруг неподвижной вертикальной оси ВВ' с угловой скоростью:

.                                                         (3)

Такое движение называется регулярной прецессией, а величина  – угловой скоростью прецессии. *)

Выясним зависимость угловой скорости прецессии гироскопа от основных параметров системы. Спроецируем равенство (2) на горизонтальную ось, перпендикулярную ОО'

.

Из геометрических соображений (см. рисунок) при малых углах поворота , а тогда , и угловая скорость прецессии выражается:

.                                    (4)

Описание установки

Подвижной элемент гироскопа представляет собой  массивный маховик (диск), закреплённый на оси электродвигателя. Вдоль оси маховика закреплена планка с линейной метрической шкалой. Вдоль планки может перемещаться противовес.