Свертка двух путей f1(t), f2(t) называется ф-я F(t)=0òt f1(t-t) f2(t)dt. Интеграл определяющий свертку не меняет своего значения от перестановки функции f1 и f2, свертка двух путей симметрична относительно свертываемость функции изображение свертки двух оригиналов и изображений = произведению их изображений. Теорема свертываемости: f‾1(p)®f1(t), f‾2(p)®f2(t), то 0òt f1(t-t) f2(t)dt<¸f‾1(p) f‾2(p); F(t)<¸ f‾1(p) f‾2(p).
17. Изображения производных и интеграла от оригинала.
Пусть оригиналом от F(t) дифф. n-раз до n-го порядка в свою очередь явл. оригиналами, тогда справедлива теорема дифф. оригинала. Если f‾(p)¸>f(t); f(k)(p)¸>pkf(p)- {pk-1 f(p)+pk-2 f ’(p)+…+pk-n fn-1(p)}. f(t)<¸ f‾(p); f ’(t)<¸p f‾(p)-f(0); f¢¢(t)<¸ p2f‾(p)-pf(0)-f ‘(0); f¢¢¢(t)<¸p3f‾(p)-p2f(0)-pf ‘(0)-f ‘‘(0); fⅣ(t)<¸ f¢¢¢(t)<¸p4f‾(p)-p3f(0)-p2f ‘(0)-pf ‘‘(0)-f ‘’’(0). Для всех оригиналов справедлива теорема интегралов: f‾(p)¸>f(t); f‾(p)/р¸>0òtf(t)dt. Отсюда изображение и интеграл получается из изображения f(t) при помощи выполнения алгебраических операций. eat, sinbt, cosbt алгебраические ф-ии от р.
18. Теорема о дифф. изобраения.
Изображением оригинала f(t) называется ф-я F(p) комплексного переменного p=s+is, определяемая интегралом: F(p)=0ò¥ f(t)e-ptdt. Теорема: для всякого оригинала f(t) изображение F(p) существует в полуплоскости Rep=s>s0, где s0-показатель роста ф-ии f(t). Если F(p) явл-ся изображением ф-ии f(t), то limp®¥F(p)=0.
19. Теорема о дифф. оригинала.
Пусть оригиналом от F(t) дифф. n-раз до n-го порядка в свою очередь явл. оригиналами, тогда справедлива теорема дифф. оригинала. Если f‾(p)¸>f(t); f(k)(p)¸>pkf(p)- {pk-1 f(p)+pk-2 f ’(p)+…+pk-n fn-1(p)}. f(t)<¸ f‾(p); f ’(t)<¸p f‾(p)-f(0); f¢¢(t)<¸ p2f‾(p)-pf(0)-f ‘(0); f¢¢¢(t)<¸p3f‾(p)-p2f(0)-pf ‘(0)-f ‘‘(0); fⅣ(t)<¸ f¢¢¢(t)<¸p4f‾(p)-p3f(0)-p2f ‘(0)-pf ‘‘(0)-f ‘’’(0).
20. Теорема об интегрировании интеграла.
Для всех оригиналов справедлива теорема интегралов: f‾(p)¸>f(t); f‾(p)/р¸>0òtf(t)dt. Отсюда изображение и интеграл получается из изображения f(t) при помощи выполнения алгебраических операций. eat, sinbt, cosbt алгебраические ф-ии от р это дает возможность многии операции математического анализа и решение дифф. интегрального у-нии свести к выполнению алгебраических действий над изображениями искомых ф-ций.
21. Теорема об интегрировании изображения.
Если f(t)<¸F(p) и интеграл pòµF(r)dr сходится, то pòµF(r)dr¸>f(t)/t; интегрирование изображения от p до ¥ соответствует деление его оригинала на t. pòµF(r)dr= pòµ (pòµf(t)e-ptdt)dr= pòµ (pòµ e-ptdr)f(t)dt = pòµ (1/te-pt p½µ) f(t)dt= pòµ f(t)/te-pt dt ¸>f(t)/t.
22. Применение операционного исчисления.
Применение к решению некоторых дифф. и интегральных у-нии, если дано линейное дифф. уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами y(n)+a+ y(n-1)+a2y(n-2)+…+any(n-m). Правая часть которого явл. оригиналом, то и решение этого оригинала удовлетворяющая произведению начального усл. вида: y(0)=y0; y’(p)=y0; y(n-1)(0)=y0n-1. Решение задачи Коши поставленный для этого у-я поставленные служит оригиналом обозначеного этого решения ч/з y(t) находим изображение левой части исходного дифф. уравнения и приравнивая его изображение функции f(t) приходим к изображающему у-ю которое всегда явл. линейным алгебраическим ур-ем.
23. Решение задачи Коши для линейных и дифф. у-ний.
Пусть требуется найти решение линейного дифф. ур-я: y(n)+a1y(n-1) +…+any=f(t). Начальные условия: : y(0)=с0; y’(p)=с1,…, y(n-1)(0)=yn-1. Пусть y(t)<¸Y(p)=Y и F(p)¸>f(t)=F;Þ перейдем в у-и от оригинала к изображениям: (pnY-pn-1c0-pn-2c1-…- cn-1)+a1(pn-1Y-pn-2c0-…- cn-2)+…+an-1(pY-c0)+anY=F.-это операторное у-е. От Y: Y(pn+a1pn-1+…+ an-1p+ an)=F+c0 (pn-1+ a1pn-2+…+an-2)+…+cn-1ÞY(p)=F(p)+Rn-1(p)/Qn(p)-это отераторное решение дифф. у-я.
24. Решение с/с дифф. у-ний с применение операционного исчесления.
Также как и Решение задачи Коши для линейных и дифф. у-ний. Пример: {x’=y-z, y’=x+y, z’=x+z; где x(0)=1, y(0)=2, z(0)=3. Решение: Пусть x=x(t)<¸X(p)=X; y=y(t)<¸Y(p)=Y; z=z(t)<¸Z(p)=Z. Находим: x’<¸pX-1; y’<¸pY-2; z’<¸pZ-3;С/с примет вид: {pX-Y+Z=1, X-(p-1)Y=-2, X+(1-p)Z=-3. Решаем с/с: X(p)=p-2/p(p-1), Y(p)=2p2-p-2/p(p-1)2, Z(p)=3p2-2p-2/p(p-1)2. Переходим от изображения к оригеналам: X(p)=p-2/p(p-1)=2p-2-p/ p(p-1)=2(p-1)/ p(p-1)-p/ p(p-1)=2/p-1/p-1¸>2-et=x(t); Y(p)=2p2-p-2/p(p-1)2 =-2/p+4/p-1-1/( p-1)2¸>-2+4et-tet=y(t); Z(p)=3p2-2p-2/p(p-1)2=-2/p+5/p-1-1/( p-1)2¸>-2+5et-tet=z(t).
25. Решение интегральных ур-ний.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.