Переменная величина. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей. Правило Лопиталя

·  Переменная величина – величина, которая принимает различные численные значения, в противном случае она называется постоянной. Перемен величины: x, y, z, u. постоянные:a, b, c. Множиство всех числовых занчений переменной величины наз обл измен этой переменной.(х=const, для всевозможн α есть отрезок [-1;1]). Упорядоченная переменная величина – когда и область изменения переменной x и порядок в котором она принемает свои значения Xn=1/n.

·  Переменная y наз функцией х, если каждому знач х ставится определенное значение y. Область определения- множество чисел, для которых определены значения данной функции. Область значения – множество чисел, сост из всех занчений ф-ции.

·  Свойства функции: 1)обл. определения F=y(x) 2)возрастание и убывание 3)пересечения с осями y(x)=0 4) четность и нечетность y(-x)=y(x) четн, y(-x)= -y(x) нечет 5)переодичность.

·  Элементарные функции: y=x, y=kx, y=kx+b – линейные функции, график-прямая.                          

Y=x^2, y=ax^2 y=ax^2+bx+c  – квадратичные функции. График – порабола обл опред-все действит числа. Y=x^k –степенные функции обл опр – все действитчисла. Y=x^-k=1/x – график – гипербола. Y=sin x , y=cos x – тригонометрические ф-ции график синусоида и косинусоида. Y=√x – обратная функция. Y=log(a)x – логарифмическая.

·  Предел ф-ции: число b наз приделом ф-ции y=f(x) при х стремящимуся к a если для любого Е ≥ 0 cущ число δ(Е) ≥ 0 ткое что для всех х≠а удовл неравенству                /х-а/≤δ вып неравенства /f(x)-b/≤Е (функция стремится к b при                                         х стремящимуся к а)                                                                                                                  

Ф-ция наз бесконечно малой при х стремящимся к а(∞) если

lim f(x)= 0

если при

Х .Стремящимся к а (∞) f(x) стремится к ∞ то такая ф-ция наз

бесконечно

большой.

1)  Ф-ция обратная по величине бесконечно большой есть бесконечно малая

Ф-ция f(x) обратная по величине бесконечно малой отлчной от 0 есть бесконечно большая т.е. lim f(x)=∞

·   

·   

·  Основные теормы а приделах: Если сущ lim f(x) и lim g(x) то:

1)  lim (f+g) = lim f + limg

2)  lim (fg) = lim f ∙ lim g

3)  lim (f/g) = lim f / lim g, lim(x) ≠0

4)  lim c f(x) = c lim

5)  lim (sinx/x)=1 – первый замечательный придел (х→0)

6)  lim (1/x)=∞ (x→0)

7)  lim (1/x)=0 (x→∞)

8)  lim q^n=0 , /q/‹1 (x→∞)

9)  lim √x = √a , a›0 (x→a)

10)lim c =c , c = const (x→a)

Большинство ф-ций яв непрерывными т. Е. при небольших изменениях аргумента х ф-ция y изменяется весьма мало  и граф такой ф-ции будет сплошная непрерывная кривая, но при некоторых значених х ф-ция может нарушатся и граф прерываться.

·  Приделы непрерывных функций: lim f(x) = f(X0) (x→x0) ↔  к непрерывным относятся все элементарные ф-ции в их обл определения, а также многочлены.

1)  lim cos x = cos π/2=0 (x→π/2)

2)  lim e^x-1 = e^1-1 =e^0=1 (x→1)

3)  lim arcsin x = arcsin √2/2 = π/4 (x→1)

4)  lim ln(x-2) = ln(3-2)=ln1= 0 (x→3)

5)  lim F(u(x) = F(lim u(x) , F(u(x) – сложная ф-ция, (x→a)

·  Раскрытие простейших неопределенностей: вида 0/0 функция есть отношение двух бесконечно малых ф-ций (х→а или ∞) lim f(x)=lim f(a) (x→a)

1)  разложить на множители числит и знаменат и при наличии одинаковых множит стремящ к нулю дробь на них сократить.

2)  Избавится от иррациональности в числители или знаменат и при наличии одинаковых бесконечно малых мнозит дробь на них сократить.

3)  Исп первый замечат придел: lim (sin x/x)=1

Неопред вида ∞/∞ : когда ф-ция есть отношение двух бесконечнобольших ф-ций (х→∞,а)

1)  при наличии многочленов делят почленно и числит и знам на старшую степень независемой переменной

2)  предел и числителя и знамо пред пределами старшей степени и делят на числит и знам и на переем в старшей степени.

·  Производная ф-ции– пусть ∆х приращение аргумента х тогда х+∆х новое значение аргумента , а ∆f(x)=f(x+∆x)-f(x) – соответств приращение ф-ции f(x)   ∆f(x)/∆x производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если таковой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Пусть ∆х→0, тогда lim ∆f(x)/ ∆x =f  (x) наз производной f(x) в точке х. Если указ придел сущь то ф-ция наз диф в данной точеке х, если произв рана ∞, то такая ф-ция имеет бесконечную произв. Геометр смысл :f (x)=tg α- угол наклона касательной проведенной к кривой f(x) в точке х к положительному направлению оси Ох. Физический смысл: Пусть тело движется прямолинейно и закон его движения по времени задан уравнен s(t) тогда производная s(t) есть мнгновенная скорость в момент t т.е.   v(t)=S (t).

·   

·   

·   

·  Основные правила дифф. Элементарные ф-ции: Пусть u  и v существуют тоесть их ф-ции диф. Дифференцирование любой функции ведется путем сведения дифференцирования данной функции с помощью свойств производных к дифференцированию некой преобразованной функции, составленной из табличных элементарных функций.