Приклад комплексного методу розрахунку ланцюгів змінного струму, страница 2

де Z=U/I – повний опір ділянки ланцюга; φ=ψ_U - ψ_і – різниця фаз напруги і токи.  Для індуктивного навантаження (струм відстає від напруги, ψ_U>ψ_і ) кут φ буде позитивним, для ємнісного навантаження (струм випереджає напругe) – негативним. Повна напруга Z є модулем комплексного опору . Тому що Zе^jφ=Z(cosφ jsinφ )=Zcosφ jZsinφ, те, підставивши з трикутника опорів   Zcosφ=R і Zsinφ=X, отримаємо комплексний опір в алгебраїчній формі:

=R jХ.                                                                                                  (6)

     Речовинна частина – активний опір R, а мнима – реактивний опір X.

Аргумент комплексного опору φ= arctg Х/R дорівнює куту зрушення фаз між струмом і напругою, модуль Z= .

     Закон Ома. З визначення випливає

= / ,                                                                                                  (7)

     Закони Кірхгофа в комплексній формі. Для миттєвих значень струму, эдс і напруг закони Кірхгофа математично, як уже відомо, виражаються у вигляді: перший закон- ∑е=∑u. Підставивши місце миттєвих значень їхні комплексні числа, що зображують, одержимо закони Кіргофа в комплексній формі:

=0; ∑E=∑Z .

     Послідовне з'єднання приймачів. Напруга на вході схеми дорівнює сумі напруг окремих приймачів:

 = ₁+ ₂+…+n=++…+=,де = + +…+...

     Комплексний еквівалентний опір послідовної схеми дорівнює сумі комплексних опорів окремих приймачів.

 Приклад 1. Для схеми з послідовним з’єднанням елементів R₁=20, X_c = 40 Ом, R₂=60 Ом, X_L=100 Ом. Напруга =100e^j67°В. Обчислити струм.

 Розв’язок. Визначимо комплексний еквівалентний опір схеми:

= 20-j40+60+j100 = 80+j60Ом.

 Переведемо в показану форму:

Z= =100, φ=arctg60/80=37°,

Z=100e^j37°Ом.

Струм = / = 100e^j67°/100e^j37°=1e^j30°А.

     В алгебраїчній формі

 =1(cos30°+jsin30°)= 0,87+j0,5А.

    Паралельне з'єднання n приймачів. Комплексний струм у нерозгалуженій частині дорівнює сумі комплексних струмів галузей:     = + +…+... Визначаючи за законом Ома струми галузей             = / , одержимо = /(1/ +1/ +…+1/)=,де - комплексна провідність k-тої галузі. Формулу              = - називають законом Ома в комплексній формі для паралельного з'єднання.

     Комплексна провідність галузі. Це комплексне число, зворотне комплексному опорові  : =1/ = 1/Ze^jφ =Ye^-jφ Модулем цього числа є повна провідність Y- величина зворотна повному опорові: Y=1/Z. Аргумент дорівнює куту φ с протилежним знаком.

     Запишемо повну провідність в алгебраїчній формі:     Y=Ye^-jφ =Y cosφ –jY sinφ =g-jb. Активна провідність є матеріальною частиною комплексної провідності, а реактивна – мнимою частиною.

     Повна провідність як модуль комплексного числа     : Y= , аргумент φ = arctg g/b, тобто одержали відомі формули.

     Якщо помножити комплексну провідність на напругу , з'являються активна і реактивна складові струмів:

= =(g-jb)*U=gU-jb= + .

     Перетворення послідовної еквівалентної  схеми в рівнобіжну. Якщо задані опори R,X, то комплексна провідність =1/ =1/(R+jХ).

     Помножимо чисельник і знаменник на сполучене комплексне число: (R-j)/(R² + X²)= R/Z^2-j/Z²= g-jb, де g=R/Z²- активна провідність, b=X/Z^2-реактивна провідність, Z = - повний опір (модуль комплексного опору).

     Перетворення паралельної еквівалентної схеми в послідовну. Якщо відомо провідність галузі Y= g-jb,  то =1/ =1/(g-jb). Множачи чисельник і знаменник на сполучене комплексне число, одержимо =(g+jb)/(g²+ b²) = = g/Y²+jb/Y², відкіля знаходимо опір активний R=g/Y² і реактивний X=b/Y² ; тут Y= -повна провідність.

     Помітимо, що зворотними один одному є комплексні провідність і опір і їхні модулі Y, Z. Активні і реактивні опори і їхньої провідності в загальному випадку не є зворотними величинами.

     Потужність у комплексній формі. Потужність природно було б розглядати як добуток комплексних струму і напруги ; однак таке множення не приводить до правильного результату. Для того щоб одержати вираз потужності , треба помножити комплексну напругу на сполучений комплексний струм, рівний по значенню *=Ie^jψi. Тоді             = *=Ue^jψ Ie ^-jψ=UIe^j(ψ-jψ )=UIe^+jφ=UI(cosφ +jsinφ) =P+j,   де  φ=ψ-ψ - різниця фаз струму і напруги;

UI cos φ = P – активна потужність;

UI sin φ =Q- реактивна потужність;

UI=S- повна потужність.

    Таким чином, = *=Se^±jφ = P±jQ.

     Тут при φ знак “+”, коли X_L >X_C, знак “-”, коли X_L<X_C. Відповідно реактивна потужність Q індуктивний або ємнісна і має знак  “+” або “-”. Модуль комплексної потужності S= .