Определение координат судна и поправки шкалы времени потребителя

23

3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ СУДНА И ПОПРАВКИ

ШКАЛЫ ВРЕМЕНИ ПОТРЕБИТЕЛЯ .

3.1.  Линеаризация результатов первичных измерений в ССЗ.

3.1.1.  Зададимся горизонтной системой координат, начало которой совпадает с ближайшей к судну счислимой точкой. Полагаем, что при этом –как отмечалось в п.2.3.1 -  действует программа перевода банка измеренных данных об ИСЗ из инерциальной  геоцентрической системы в выбранную, где итоги первичной обработки сигналов - формулы (1,9) вида r_рk^изм.ог=r_рk-d, где r_рk=[(x_k-X)²+(y_k–Y)²+(z_k–Z)²]^1/2 и d=с_грDt_ап - позволяют (для определения 3-х координат X,Y,Z приемной антенны и  величины d, пропорциональной искомой поправке к шкале времени потребителя) записать систему не менее 4-х нелинейных уравнений

                               r_рk^изм.ог=[(x_k-X)²+(y_k–Y)²+(z_k–Z)²]^1/2-d,        k=1,2…n.          (3.1)

В современной аппаратуре эта система линеаризуется поскольку каждое  истинное расстояние  r_рk от АП до ИСЗ незначительно отличаются от расстояния R_k=(x_k²+y_k²+z_k²)^0,5 между счислимой точкой и ИСЗ из-за чрезвычайной малости X, Y, Z. Поэтому в разложении r_рk по формуле Маклорена можно  оставить лишь линейные члены и полагать

                         r_пk=R_k+(dr_пk/dX)X +(dr_пk/dY)Y +(dr_пk/dZ)Z                              (3.2)

причем частные производные находятся в счислимой точке, где X=0,Y=0,Z=0. После соответствующих выкладок выражение коэффициента перед Х получается в виде 

               dr_пk/dX={-( x_k-X) [(x_k-X)²+(y_k–Y)²+(z_k–Z)²]^-1/2}_X=Y=Z=0=-x_k(x_k²+y_k²+z_k²)^--0,5

что с обратным знаком в точности равно направляющему косинусу с_хk угла между радиусом-вектором R_k=R_k(x₀c_xk+y₀c_yk+z₀c_zk)R_k=R_k(x₀c_xk+y₀c_yk+z₀c_zk),и осью абсцисс. Аналогично выражаются и коэффициенты перед Y и Z. Поэтому (3.2) заменяется равенством r_gk=R_k-Xc_xk - Yc_yk-Zc_zk.   Обозначая разность между счислимым и измеренным расстояниями до ИСЗ через r_k=R_k-r_пk^изм, получим вместо (3.1) линейную систему уравнений

                                         Xc_xk+Yc_yk+Zc_zk+d =r_k , k=1,2,…n,                                           (3.3)

которая является совместной лишь при n=4.

3.2. Обработка квазидальностей до 4-х ИСЗ.

В этом случае совместную  систему (3.3) при  k=1,2,3,4 удобно записать в обычном и матричном виде:

 или   .      (3.4)

24

Решение этих уравнений через главный   и частные , ,  определители представим в виде линейной комбинации  результатов  измерений  на коэффициенты , , , , равные отношению соответствующих алгебраических дополнений к :

                                             (3.5)

где, например,

; ; ... и т. д..

 Оценка погрешностей определения искомых параметров X,Y,Z,d упрощается в предположении одинаковости дисперсий s_r=s_r=s_rk (из-за одинаковости условий приема сигналов различных ИСЗ) и  некоррелированности результатов (1.9) первичных измерений, когда применимо известное из теории вероятностей  правило (см. с.326-327 [1]): дисперсия линейной комбинации случайных величин равна произведению дисперсии   на сумму квадратов коэффициентов. Корень из этой суммы – как зависящей в нашей задаче лишь от взаимного геометрического расположения ИСЗ и судна – называют геометрическим фактором, обозначая Г с нижним индексом искомого параметра. Применительно к решениям (3.5) системы (3.6)  указанные обстоятельства позволяют записать совокупность используемых и далее равенств:

                                   (3.6)

Используют и понятия геометрического фактора погрешностей местоопределения на поверхности Земли  и в пространстве , причем:

                     ,.                 (3.7)

3.3. МНК - обработка квазидальностей до n> 4-х ИСЗ

В этом случае используется метод наименьших квадратов (МНК). Несовместнаую систему (3.3) перепишем в матричном виде

25

                                    или      QП=Р,                          (3.8)

где П – матрица-столбец из четырех искомых параметров, Р – матрица-столбец из n измеренных величин r_I , I=1,2,..n,  Q – матрица (известных параметров) из четырех столбцов и n строк. В МНК  уравнение (3.3) заменяется системой уравнений начальных погрешностей – разностей e_k между аналитическими функциями (выражающими ожидаемые результаты измерений через искомые параметры) и реальными результатами измерений

                       Xc_xk+Yc_yk+Zc_zk+d-r_k=e_k ,          k=1,2,…n        или     QП-Р=e,               (3.9)

где e,- матрица столбец из n элементов e_I .                                

По МНК искомые параметры X,Y,Z,d находятся (подбираются или –как в нашем случае - аналитически выражаются) так, чтобы минимизировалась сумма L квадратов погрешностей   

               e^Т.e = (P-QП)^T(P-QП),                 (3.10)

где, как обычно, верхний индекс «т» обозначает операцию транспонирования матрицы. Приравняв нулю частные производную от L по искомым четырем параметрам получим систему четырех линейных уравнений. Решение этой системы после громоздких аналитических выкладок (легко реализуемых в ЭВМ)  выражается в компактном виде

                                                              П=(Q^тQ)^-1Q^тР,                                                      (3.11)

где верхний индекс «-1» обозначает операцию определения обратной матрицы.

3.4. Возможности определений по n<4 ИСЗ

Необходимость в таких определениях может возникнуть при плавании  в  фиордах,  прохождении  под мостами и  других  подобных  ситуациях, когда  количество «видимых» ИСЗ  может существенно уменьшиться.

При радиовидимости трех ИСЗ целесообразно использовать апрлрную инфориацию о высоте Z расположения приемной антенны над поверхностью эквивалентного Земле референц эллипсоида, решая систему (3.4) с соответственно меньшим числом строк и априорным Z. Необходимо  учитывать влияние приливов и отливов и  наличие  на  поверхности  Океана  районов (например - Бермудский  треугольник),  расположенных  на  » 50 м   ниже  референц-эллипсоида. 

Если измерены  квазидальности  только  по  2-м  ИСЗ, то  определение поверхностных  координат  возможно  при  использовании  значения d, полученного  в процессе предшествующих расчетов.

26

3.5. Определение координат судна по фазе cигнала одного ИСЗ

Такой режим определения места судна по результатам измерения фазы несущей был единственным  в  низкоорбитальных СРНС (/1/гл.12) первого поколения с Н»1000 км.