Информатика и выч. техника \ Математическое моделирование электронных устройств

Построение базисных функций: Учебное пособие, страница 3

Следующим шагом необходимо кубические функции Эрмита сделать более удобными для использования на практике. Производная , определенная в узле n, зависит от координаты x данного элемента и двух соседних элементов. Поэтому удобно определить глобальную производную , а затем использовать следующую взаимосвязь:

, (25)

где – масштабный коэффициент элемента, который задает масштаб производной в глобальном узле D по отношению к производной по x в узле n элемента. В результате производная оказывается непрерывной на границах элемента.

Двумерные базисные функции Эрмита требуют уже четыре производных на один узел:

u, и . (26)

Рис. 12. Кубические функции Эрмита

Наличие смешанной производной второго порядка объясняется следующим образом: если величина u пропорциональна x₁³ и x₂³, то производная будет пропорциональна x₁² и x₂³, а будет пропорциональна x₁³ и x₂²,

Рассмотрим подробнее интерполяцию производной вдоль направления 1-3 (рис. 13). Кубическая зависимость u от x₂ определена для дополнительных четырех узловых параметров. Два из них определены производными и , а два оставшихся определяются смешанными производными и .

Рис. 13. Интерполяция узловой производной вдоль стороны 1-3

Интерполяция этих узловых параметров представляется следующим выражением:

(27)

где функции описываются уравнениями (24).

Как и в рассмотренном выше одномерном случае для сохранения непрерывности производной в физическом пространстве x-координаты и пространстве -координаты производные в глобальные узлах должны быть определены относительно физического расстояния. Рассмотрим две переменных: величину S₁, которая определяет расстояние вдоль направления x₁, и величину S₂, характеризующую расстояние по направлению x₂.

Тогда

, (28)

где производные и характеризуют масштабные коэффициенты элементов, которые задают масштаб производных в глобальном узле по S координате относительно производной по x в узле n.

Описанный выше бикубический базис Эрмита является мощным инструментом для описания криволинейных поверхностей. На рис. 14 приведена четырехэлементная бикубическая поверхность Эрмита в трехмерном пространстве, в котором каждый узел имеет следующие двенадцать параметров:

, (29)

Рис.14. Поверхность, образованная бикубическими элементами Эрмита

Треугольные элементы

Треугольные элементы не могут использовать определенные выше координаты x₁ и x₂ для тензорного произведения элементов (т.е. двумерных и трехмерных элементов, базисные функции которых образованы произведением одномерных базисных функций). Координаты для треугольных элементов формируются на основе отношения площадей и называются координатами площади.

Рассмотрим отношение площади, образованной точками 2, 3 и P(x,y) на рис.15 к общей площади треугольника.

Рис. 15. Координаты площади треугольного элемента

Имеем

где S(P23) и S(123) площади треугольников (P23) и (123) соответственно, а величина

определяет площадь треугольника (123):

;

Можно видеть, что величина L₁ линейно зависит от координат x и y.

Для двух других треугольников, содержащих точку Р и две вершины элемента

где

;

; .

Заметим, что L₁+ L₂+ L₃= 1.

Величина L₁ линейно изменяется от нуля (когда точка Р лежит на стороне 2-3) до 1 (точка Р совпадает с узлом 1) и поэтому может быть использована как базисная функция узла 1 для треугольника с четырьмя узлами.

Таким образом, интерполяция для треугольного элемента будет иметь вид: