Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Министерство образования РФ

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ОиЭФ

Лабораторная работа № 1-20

«ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ                                          КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ»

Выполнил ст. гр. 255

Ампилогов Н. В.

Проверил

Малютин А. Е.

Рязань 2002

Цель работы: изучение динамики вращательного твёрдых тел; знакомство с методом крутильных колебаний, предназначенным для определение моментов инерции тел.

Приборы и принадлежности: прибор для определения крутильных колебаний – унифилярный подвес ФПМ05, снабженный набором твёрдых тел (грузов) и электронным миллисекундометром.

Элементы теории

Для начала запишем уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси:

1)   где M – момент действия на тело сил, взятый относительно оси вращения; J – момент инерции тела вокруг оси вращения;  -  угловое ускорение тела.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, численно равная произведению массы тачки на квадрат её расстояния от оси:

2)  .

Для протяженных тел момент инерции равен сумме моментов инерции отдельных материальных точек (Dm_i) на которые можно разбить данное тело:

3)  .

Когда число элементарных масс стремиться к бесконечности, сума переходит в интеграл:

4)  , где r - плотность материала; V – объём тела.

В данной работе используется система представляющая собой твёрдое тело, подвешенное на струне, закреплённой с обеих сторон. После отклонения бруска на некоторый угол j от положения равновесия и отпускания система начинает совершать свободные крутильные колебания.

Уравнения колебаний данной системы при малых углах отклонения j можно записать так:

5)  ,

где r – коэффициент момента сил сопротивления, численно равный моменту сил сопротивления при угловой скорости  (равной 1 рад/с); k – коэффициент возвращающего (упругого) момента, численно равный моменту упругих сил, возникающих при закручивании струны на угол, равный одному радиану.

При малом сопротивлении среды, в которую помещена колеблющаяся система, числовое значение r – пренебрежимо мало.

Предположив, что , уравнение (5) можно переписать следующим образом:

6) 

Данное дифференциальное уравнение, есть уравнение гармонических колебаний, и оно имеет решение вида:

7)   

где j₀ – угловая амплитуда колебаний; w - циклическая (круговая) частота; a - начальная фаза колебаний.

Круговая частота w и период колебаний T находятся через величины J и k по формулам:

8) 

После снятия показаний с установки можно вычислить период колебаний:

где t – время колебаний; N – число колебаний.

Время N полных колебаний системы можно найти так:

9)   где J₀– момент инерции пустой рамки.

Затем измеряем t₀ – время N полных колебаний ненагруженной рамки, t_э – время N полных колебаний рамки с грузом. Тело с известным моментом инерции называют эталонным телом.

Зависимость измеряемых времён от соответствующих моментов инерции задаётся системой уравнений:

10)

Исключив из этой системы неизвестные величины J₀ и k получим формулу для неизвестного момента инерции тела (J):

11)

Из данного выражения следует формула для предельной относительной погрешности определяемого момента инерции:

при tэ>t

при t>tэ

12)  

где  - относительная погрешность момента инерции эталонного тела;                               Dt – погрешность измерения полного времени N колебаний рамки (предположительно эта погрешность одинакова для всех трёх измерений: t₀, t и t_э).

Для упрощения расчётов формулу (11) можно преобразовать в следующее выражение:

13) .

Вычисления моментов инерции тела можно производить и по формуле следующего вида:

14) , но только при выполнении условия приблизительного равенства значений времени t и t_э:

15) ;

Расчётная часть

№ опыта	1	2	3	, с
to, с	12,661	12,660	12,663	12,661
t1, с	15,172	15,197	15,221	15,197
t2, с	18,060	18,049	18,070	18,060
tэ, с	18,201	18,391	18,393	18,328

N = 20

После проведения опытов имеем значения следующих величин:

(Куб) …………… m₁  = 0,950 кг.  a= 36,6´10^-3 м. (ребро куба).

(Параллелепипед) m₂  = 1,850 кг.  h= 100,3´10^-3 м. b= 6´10^-2 м. a= 4´10^-2 м. (длина, ширина, высота).

(Цилиндр) ……… m_э  = 1,708 кг.  R= 31,5´10^-3 м. h= 70,2´10^-3 м. (радиус, высота)

Используя формулу (12) вычислим относительные погрешности моментов инерции для каждого тела. Для этого, по соответствующим формулам, найдём момент инерции эталонного тела (J_э), абсолютную (DJ_э) и относительную (E_Jэ) погрешности вычисления данной величины, а так же погрешность измерения полного времени N колебаний (Dt).

  кг´м².

Вычислим DJ_э по формуле нахождения абсолютной погрешности измерения косвенной величины.

 где  т. к. измерения радиуса эталонного тела проводились штангенциркулем - с = 0,02 мм. = 2 ´ 10^-5 м; k = 1,1.

   кг´м².

Найдём погрешность измерения полного времени N колебаний (Dt).

   

При n = 3, t_с = 4,30; c = 10^-3 с.

 с.  с.

 с.  с.

  с.

По следующей формуле подсчитаем относительную погрешность момента инерции эталонного тела.

Для 1-ого тела найдём относительную погрешность момента инерции. Будем использовать выражение (12) в следующем виде т. к. t_э > t₁ (как значение t₁ (и в дальнейших вычислениях t_i ) берётся значение (и )):

 

Относительная погрешность момента инерции для 2-ого тела:

 

при t_э > t₂.

Теперь, оценив соотношение (15), подсчитаем значение моментов инерции для 1-ого и 2-ого тел.

Для нахождения значения момента инерции 1-ого тела надо использовать формулу (13) т. к.

 

  кг´м².

Для нахождения значения момента инерции 2-ого тела надо использовать формулу (15) т. к.

 

  кг´м².

Далее, по формуле DJ_i = J_i ´ E_Ji, найдём погрешность для соответствующих моментов инерции тел.

DJ₁ = J₁ ´ E_J1; DJ₁ = 4,18´10^-4 ´ 7,77´10^-2 = 3,25´10^-5 кг´м².

DJ₂ = J₂ ´ E_J2; DJ₂ = 4´10^-2 ´ 8,07´10^-4 = 3,23´10^-5 кг´м².

Итого, практические значения моментов инерции данных тел таковы:

J₁ = 41,8´10^-5 ± 3,25´10^-5 кг´м².

J₂ = 80,7´10^-5 ± 3,23´10^-5 кг´м².

Найдём теоретические значения тех же величин.

Так, как оба исследуемых тела представляют собой параллелограммы, то их моменты инерции можно найти по следующим формулам:

 кг´м².    т. к. 1-ое тело является кубом.

 кг´м².    т. к. стороны основания 1-ого тела не равны.

Вычислим абсолютные погрешности данных величин:

 где  т. к. измерение стороны основания данного тела проводилось штангенциркулем - с = 0,02 мм. = 2 ´ 10^-5 м; k = 1,1.

   кг´м².

  учитывая, что измерения сторон основания данного тела проводились штангенциркулем.

         = 2,83´10^-7 кг´м².

Выпишем, теоретические значения моментов инерции данных тел таковы:

J₁ = 2,12´10^-4 ± 0,00144´10^-4 кг´м².

J₂ = 8,02´10^-4 ± 0,00283´10^-4 кг´м².