Диффузное рассеяние рентгеновских лучей под малыми углами макромолекулами в растворе. Аппаратура для рентгендифракционных исследований. Использование синхротронного излучения (Разделы 5-6 учебного пособия "Рентгенография биологических объектов")

5. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей

под малыми углами макромолекулами в растворе

Как следует из заголовка, этот метод позволяет изучать макромолекулы в растворе, то есть в условиях, приближенных к естественным. Так как образец не является кристаллом, то информация, получаемая в этом случае, будет ограниченной. Из эксперимента можно определять радиус инерции распределения электронной плотности макромолекулы и в некоторых случаях ее молекулярную массу. (Радиусом инерции называется величина , имеющая размерность длины, с помощью которой момент инерции тела () относительно данной оси выражается формулой , где  – масса тела. Например, для однородного шара радиус инерции относительно оси, проходящей через его центр, равен , где  – радиус шара.) Можно отметить, что радиус инерции не позволяет определить формы молекулы. Поэтому для ее установления необходимо рассчитывать рассеяние от различных моделей и сравнивать полученные теоретические кривые с экспериментальными.

Пусть объект содержит большое число частиц, ориентированных произвольным образом. Считаем также, что объем, приходящийся на каждую частицу, значительно больше объема частицы. Тогда волны, рассеянные такими частицами, не будут интерферировать, а регистрируемая интенсивность определяется средней интенсивностью дифракции на частице с учетом всех возможных ее ориентировок.

В случае частиц, находящихся в растворе, имеющем электронную плотность , интенсивность рассеяния одной частицей определяется следующим выражением:

                                   ,                                    (5.1)

где  – трансформанта Фурье фактора формы частицы , то есть функции, которая равна единице внутри частицы и нулю – вне частицы:

                                 .                           (5.2)

Таким образом, объект можно рассматривать как суперпозицию частиц с плотностью  и среды постоянной плотности .

Для произвольной ориентации частиц зависимость интенсивности рассеяния одной частицей от величины  выражается через среднее значение  на сфере радиусом :

                                        .                                      (5.3)

Следовательно расчет рентгенограмм от однородных частиц данной формы осуществляется с помощью выражений (5.1) и (5.3). Такие расчеты  выполнены для частиц различной формы. Мы в качестве примера рассмотрим рассеяние сферическими частицами. В этом случае трансформанта  имеет вид:

                                    ,                                 (5.4)

где интеграл берется по объему  сферы радиусом . Можно показать, что он равен

 .           (5.5)

Учитывая выражение (5.3), находим рассеивающую способность одной частицы

                             .                      (5.6)

Примерный график этой зависимости представлен на рис. 5.1.

Рис. 5.1. График интенсивности рассеяния от однородной сферы радиусом а . Пунктиром для сравнения показана асимптотическая функция , которая применима для зерен произвольной формы, полностью дезориентированных и не имеющих нулевых размеров в каком-либо направлении (например, не плоский диск и не палочка)

Таким образом, на рентгенограмме будет наблюдаться центральное пятно, окруженное кольцами с уменьшающейся интенсивностью. Действительно, снимок такого вида можно регистрировать от образца латекса, состоящего из сфер одинакового диаметра, взвешенных в воде. Установлено, что приближенное выражение рассеивающей способности одной частицы произвольной формы имеет вид

                    ,           (5.7) где  – полное число электронов в частице, а  – средний радиус инерции, соответствующий направлению .

В случае сферической частицы радиусом  радиус инерции не зависит от направления . Тогда приближенное выражение формулы (5.6) примет вид для центрального пятна рассеяния

                                  .                                 (5.8)

Приближенное выражение (5.8) достаточно хорошо совпадает с точным выражением (5.6), что показано на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Сравнение интенсивностей рассеяния на сфере, рассчитанных по точной (а) и приближенной экспоненциальной (б) формулам

Рассмотрим случай частиц произвольной формы, но одинаково ориентированных. Тогда формула (5.7) позволяет определить вид диффузного пятна. В этом случае пятно будет более вытянутым в плоскости наблюдения, перпендикулярной к первичному пучку, в том направлении, в котором величина  будет наименьшей. На рис. 5.3 показан случай дифракции на эллипсоиде вращения, который подтверждает сказанное выше.

Рис. 5.3. Диффузное рассеяние под малыми углами на

эллипсоиде вращения с главной осью, перпендикулярной к первичному рентгеновскому пучку

Если частицы ориентированы произвольно, то

                                 ,                              (5.9)

где  – среднее значение , взятое по всем направлениям . Радиус инерции частицы  можно выразить через среднее значение () радиусов инерции по отношению к трем координатным плоскостям:

                            .                                       (5.10)

Если произвольно изменять направления, то , а  не будет изменяться. Тогда . Следовательно, для рассеивающей способности одной частицы в этом случае, для угла рассеяния , имеем

             .                 (5.11)

Можно показать, что выражение (5.11) справедливо и для общего случая неоднородных частиц, то есть частиц, состоящих из разных сортов атомов. Чтобы найти интенсивность рассеянного излучения от  частиц, нужно выражение (5.11) умножить на .

Логарифмируя выражение (5.11), получаем

                                    .                                   (5.12)

Поэтому зависимость  от  при малых значениях  является прямой, по наклону которой  можно определить радиус инерции

                                        .                                            (5.13)

Используемая аппаратура определяет некоторый предельный угол . При достаточно малом радиусе инерции частиц этот угол будет меньше угла, для которого справедливо экспоненциальное приближение; тогда формула (5.13) позволяет определить радиус инерции частицы. Подчеркнем еще раз, что метод основан на измерении наклона прямой при малых значениях , то есть вблизи первичного пучка. Укажем, что для  и Å верхний предел радиуса инерции, который еще можно определить, равен 60 Å для сфер и 35 Å для сильно вытянутых цилиндров.