Лекция 16. Критерий Био. Вырождение критериев, страница 2

16.2. Критерий Био. Вырождение критериев

         Равенство критерия Фурье является обязательным, но не достаточным условием подобия процесса теплопроводности в твердом теле. Это непосредственно вытекает из того, что система, описывающая этот процесс, содержит еще одно дифференциальное уравнение. Оно описывает тепловое состояние на границе системы и приводит к появлению второго критерия подобия, который является, по сути, вторым количественным признаком обобщенного случая.

         Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что она задана в граничных условиях третьего рода. В соответствии с этими условиями считается заданной температура среды окружающей тело. Тепловое состояние непосредственно на граничной поверхности задано косвенным образом через определение интенсивности теплообмена между средой и системой.

Зная градиент температуры в теле можно найти температурный напор на его поверхности

.

Разность температуры на концах отрезка длиной  

по известному градиенту, очевидно, определится соотношением

или в избыточной температуре

.

         Если величина  равна определяющему размеру, то величина ,  имеет смысл перепада температуры, характерного для изучаемого температурного поля тела.

         Эта характерная разность температуры может быть сопоставлена с температурным напором между телом и окружающей средой соотношением

.

         Вспоминая, что величина  представляет собой критерий , отметим, что им устанавливается соответствие между распределением температуры вглубь тела и в окружающую среду. Он представляет собой меру отношения перепада температуры в теле к температурному напору между телом и окружающей средой. Это приближение тем точнее, чем меньше отличается среднее значение градиента температуры по длине  от его величины непосредственно у поверхности тела. Для линейного распределения, как показано на рисунке, они не отличаются, то есть . Однако к этому равенству необходимо подходить осторожно, особенно для нестационарного процесса. В этом случае, например, для начального момента перестройки температурного поля градиент на поверхности , в то время как для всех остальных точек он может иметь значения близкие к нулю .

         Возможность оценки порядка отношения температурного перепада к действующему напору по критерию  достаточно важно для практики проведения численных расчетов. При таких оценках всегда важно выявить два крайних случая –  больших и малых значений критерия . Если  , то температурный напор представляет собой малую величину по сравнению с температурным перепадом.