Логические функции. Словесное, табличное, алгебраическое, схемное, графическое представление логических функций

1.3 Логические функции

Представление логических функций может быть словесное, табличное, алгебраическое, схемное, графическое и т.д.

Функция F (X₁, X₂,…, X _n) определена на  К = 2ⁿ  наборах, где n – число переменных. Для n переменных существует  N  различных логических функций:

Все возможные логические функции одной переменной приведены в таблице 1.3.1.

         Таблица истинности логических функций одной переменной              Таблица 1.3.1

№ Набора	Функция	0	1	Обозначение	Название
0		0	0	0	Константа ноль
1		0	1		Повторение
2		1	0		Отрицание
3		1	1	1	Константа единица

Основные логические функции одной переменной.

F₂(X). Повторение истинного высказывания истинно, и наоборот. 

Применяется как усилитель импульсных сигналов (рис. 1.3.1).

                                                      

                                                                                    Рис. 1.3.1 Обозначение элемента повторения

F₃(X). Операция, соответствующая предлогу «не» - отрицание

(операция НЕ, инверсия). Отрицание истинного высказывания

 ложно, и наоборот (читается: не Х , рис.1.3.2-1.3.4).

                                                                                     Рис. 1.3.2 Обозначение элемента отрицания

Рис. 1.3.3 Временные диаграммы                                        операции НЕ

Рис. 1.3.4 Реализация элемента НЕ на нормально замкнутом контакте реле К1. При включении реле (1) контакт                                                                                                размыкается (0), и наоборот

Все возможные логические функции двух переменных F (X₁, X₂) приведены в таблице 1.3.2.

 Таблица истинности логических функций двух переменных                             Таблица 1.3.2

X1	X2	F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

F₁. Логическая связка, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией (операция И, логическое умножение). Она обозначается «/\», или « • », или «&», или «Ç», или знак опускается (рис.1.3.5-1.3.8).

Высказывание F = X₁X₂  истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания X₁ и X₂.

В общем случае: Функция F (X₁, X₂,…,  X _n)  равна нулю, если равен нулю хотя бы один аргумент (равна единице, если равны единице все переменные).

Рис. 1.3.5 Временные диаграммы операции И

Рис. 1.3.6 Реализация операции И на нормально разомкнутых контактах К1 и К2 двух реле. При включении реле (1) контакт                                                                                                замыкается (1), и наоборот

Рис. 1.3.7 Обозначение операции И. Элемент 2И, где 2 - число входов

Рис. 1.3.8 Реализация элемента 2И

При подаче на оба входа сигналов логической единицы, равных +E, диоды VD1, VD2 закрыты. На выходе потенциал (рис. 1.3.8):   Если хотя бы на один вход подать нулевой потенциал земли, то соответствующий диод откроется и зашунтирует Rн. Это сопротивление станет много меньше R1 и U ≈ 0.

F₁₃. Логическая связка «если…, то…», называется импликацией. Обозначается «→».

Высказывание F = X₁→X₂  ложно тогда и только тогда, когда если X₁ истинно, то X₂  ложно.

Вопрос об истинности импликации решается при доказательстве теорем.

Действительно, всякая теорема имеет вид импликации, «из X₁ следует X₂», у которой в посылке (X₁) стоит то, «что дано», а в заключении (X₂) то, «что требуется доказать».

Пример. Высказывание X₁: «Число 6 делится на 4».

Функция X₁→X₂: «Если заданное число делится на 4, то оно делится на 2».

Имеем: X₁→X₂ – истинная теорема. X₂ – истинное высказывание.

Однако из этого нельзя делать вывод об истинности X₁.

Иначе: из неверного утверждения верными методами можно получить верный результат. Но нельзя верными методами получить из верного утверждения неверный результат.

 

F₂. Запрет по X₂ (отрицание импликации).

Обозначается  «D». При равенстве  запрещающей  переменной

единице функция равна нулю. Если запрещающая переменная

равна нулю, то функция принимает значение другой, информационной переменной (рис. 1.3.9):

Рис. 1.3.9 Обозначение операции запрет по X2. Элемент НЕТ

F₁₁. Импликация. Высказывание F = X₁←X₂  ложно тогда и только тогда, когда если X₂ истинно, то X₁ ложно (рис.1.3.20).